12.高中数学解题中构造法的应用措施-2020年6月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

高中数学解题中构造法的应用措施 ■尹 艳 构造法简单来讲主要指的是能够以题目结 论、题干给出条件及自身性质特点,结合条件构 造与之相符的数学形式。在数学解题中运用构 造法主要是为了转变题目表现的未知条件成为 已知量,从而提高同学们的数学解题效率。 一、运用于函数解题 在高中数学知识中,函数具有举足轻重的作 用,同学们在学习相关知识时,不仅要掌握具体的 解题技巧,还要具备符合自身学习情况的解题思 想,这也是同学们解答数学问题的关键。尤其对 于几何、代数类型数学题的解答,均要考虑到函数 思想,通过运用构造函数简化原本繁杂的问题,从 而培养同学们对该类问题的解答能力。 例1 如果(x+ x2+1)(y+ y2+1)= 1,证明:x+y=0。 证明:构造函数f(x)=lg(x+ x2+1) (x∈R),易证f(x)在R上是奇函数且单调递 增。因为(x+ x2+1)(y+ y2+1)=1,所 以f(x)+f(y)=lg(x+ x2+1)+lg(y+ y2+1)=lg[(x+ x2+1)(y+ y2+1)]= lg1=0。所以f(x)=-f(y),即f(x)= f(-y)。又因为f(x)属于增函数,所以x= -y,即x+y=0。 二、运用于方程解题 同学们在学习高中数学知识的过程中,可 以发现方程密切联系函数,均是以题型为依据 给出数量、结构特征关系。解题时可以运用构 造法组成一个或多个等量公式,这样一来便可 以将原本复杂的问题更加简单化,可以有效提 高同学们的解题质量及解题速度。 例2 已知a,b,c均为实数,满足条件 a=6-b,c2=ab-9,求证:a=b。 解析:由已知条件我们发现该题的解题 突破口寻找难度较大,但是经过构造方程,则 可以迅速找出解题思路。与已知条件相结合 可得a+b=6,ab=c2+9,所以直观可见a,b 与一元二次方程的两个根十分相似。所以结 合已经掌握的韦达定理,构造方程t2-6t+ (c2+9)=0。由于Δ=(-6)2-4(c2+9)≥ 0,可以得出36-4c2-36=-4c2≥0。据此 可以得出c2≤0,结合题干中的已知条件c为 实数,所以可以得出c2=0,证得a=b=3。 三、运用于向量解题 通过构造向量能够有效增加解题效率, 尤其 对 于 多 不 等 式 结 构,譬 如 M1M2 + N1N2,可以运用向量的数量积表示,变形原 本不等式,从而提供新的不等式证明法。 例3 在数列{an}中,已知a1=1,an+1= 2an+1,求通项an。 解析:很显然,该数列{an}并非等差或者 等比数列,所以不好通过等差或者等比数列 公式来求。而所给出的条件可变形为an+1= 2an+1,于是可构造出等比数列{an+1+1}, 即可获得通项an。由于an+1=2an+1,因此 an+1+1=2(an+1),换 言 之 就 是 说 数 列 {an+1+1}为等比数列,首项为a1+1=1+ 1=2,公比为q=2。通过变形构造出一个等 比数列,进而求得通项。 四、运用于数列解题 在高中数学诸多题目的解答过程中,证明 不等式的数学题尤为多,通过使用构造法完成 数列构造,可以找出较为高效的解题思路。 例 4 求 方 程 x+11-6 x+2 + x+27-10 x+2=1的实数根个数。 解 析:由 于 已 知 x+11-6 x+2, x+27-10 x+2的等差中项为 1 2 ,因此 可以 设 x+11-6 x+2= 1 2-d , x+27-10 x+2= 1 2+d , ì î í ï ï ï ï 由 两 个式子的平方差得出8-2 x+2=d,代入 方程组中任意一个方程,得d2=1,因此d= ±1,但是均无法满足 1 2-d ,1 2+d 都是非负 数,因此原方程无实数解。 作者单位:江苏省苏州市相城区望亭中学 81 基础数学 障碍分析 自主招生 2020年6月 $$