14.解析独立性检验主观题型-2020年6月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

解析独立性检验主观题型 ■罗 铧 纵观近些年的高考数学题,我们发现多次 出现了对独立性检验的综合应用题的考查,这 也为我们的高考备考鸣响了警钟———不可忽视 独立性检验综合应用题。下面具体分析。 一、独立性检验问题 要想解答独立性检验问题应做好两件事: 一是准确解读2×2列联表,落实表中相关数 据;二是正确利用公式求出K2 的观测值k。 例1 某部一连与二连展开各项战术技能 比武,两个连队各选派了50名战士参加,规定 比武成绩满分为100分,90分(包含90分)以上 为优秀,90分以下为非优秀,比武结束后进行了 成绩统计,得到两个连队战士比武成绩的2×2 列联表,如表1,请回答下列问题。 表1 优秀战士 非优秀战士 合计 一连 10 40 50 二连 20 30 50 合计 30 70 100 (1)求 K2 的观测值k。 (2)判 断 是 否 有 99% 的 把 握 认 为 “比武成绩与战士所在的连队有关系”。 已知:K2= n(ad-bc)2 (a+b)(b+d)(d+c)(c+a) , 临界值表如表2。 表2 P(K2≥k)0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.63510.828 解 析:(1)由 题 意 可 得 K2 = 100(10×30-40×20)2 30×70×50×50 ≈4.762 ,得k=4.762。 (2)因为 K2≈4.762<6.635,所以没有 99%的把握认为“比武成绩与战士所在的连 队有关系”。 二、独立性检验与频率分布直方图相交汇 在主观题中考查独立性检验一般是要渗 透统计的其他知识,比如抽样方法、频率分布 直方图、茎叶图等,而渗透这些统计知识的目 的在于提供相关数据,来检验事件的独立性。 例2 某电视台为了调查该地区观众对 某一综艺节目的收视率情况,随机抽取了 100名观众进行调查,其中女性观众有55人。 图1是根据调查结果绘制的该地区观众每日平 均收看该综艺节目时间的频率分布直方图。将 图1 日均收看该综艺节目时 间不低于40min的观众 称为“综艺迷”,根据统计 得如表3所示的2×2列 联表。 表3 非综艺迷 综艺迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 (1)判断是否 有95% 的 把 握 认 为“综艺迷”与性别 有关。 (2)把日均收 看该综艺节目不低于50min的观众称为“超 级综艺迷”,已知“超级综艺迷”中有2名是女 性观众,若从“超级综艺迷”中任意选取2人, 求至少有1名女性观众的概率。 解 析: (1) 由 题 意 得 K2 = 100(30×10-45×15)2 75×25×45×55 = 100 33≈3.030 。因为 3.030<3.841,所以我们没有95%的把握认 为“综艺迷”与性别有关。 (2)从频率分布直方图可得,“超级综艺 迷”为5人,从而一切可能结果所组成的基本 事件为(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),(a1,b1), (a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3, b2),(b1,b2),其中ai 表示男性,i=1,2,3,bj 表示女性,j=1,2。由10个基本事件组成, 而且这些基本事件的出现是等可能的。用A 表示“任选2人中,至少有1人是女性”这一 事件,则 A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1), (a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)},事件A 由7个基本事件组成。因而P(A)= 7 10 。 备考指导:由此可知,我们在备考独立性 检验问题时,应结合概率统计知识对独立性 检验问题加以学习掌握,把二者交汇贯通,做 到这一点,我们就不会再害怕高考中出现独 立性检验主观题了。 作者单位:重庆市永川北山中学校 02 基础数学 障碍分析 自主招生 2020年6月 $$