15.深挖细究 避免再错-2020年6月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

深挖细究 避免再错 ■李建波 冯跃辉 在一类待定系数法求取值范围的题目 中,运用不等式“同向可加性”很容易产生一 种错误的解法,而错解中的逻辑错误隐藏得 很深,难以被发现。下面用例题来分析深含 其中的逻辑错误。 例题 如果1≤a+b≤5,-1≤a-b≤ 3,求a+2b的取值范围。 错解:因 为 1≤a+b≤5, -1≤a-b≤3,{ 所 以 0≤ 2a≤8,所 以 0≤a ≤4 ①。又 因 为 1≤a+b≤5, -3≤b-a≤1,{ 所以-2≤2b≤6 ②。综 上,因为 0≤a≤4, -2≤2b≤6,{ 所以-2≤a+2b≤10 ③。这是同学们经常犯的错误分析过程。 过程①是利用不等式“同向可加性”和“可乘 性”,过程②同理使用“同向可加性”“可乘 性”,过程③是利用“同向可加性”。每一步推 理都运用不等式的基本性质作依据,也就是 说推理过程没有问题,并且计算过程也没有 问题,那为什么这是一种错误解法呢? 我们 先看看正确解答。 正解:设a+2b=u(a+b)+v(a-b), 则 u+v=1, u-v=2,{ 解 得 u= 3 2 , v=- 1 2 。 ì î í ï ï ï ï 故 a+2b= 3 2 (a+ b) - 1 2 (a - b)。 因 为 1≤a+b≤5, -1≤a-b≤3,{ 所 以 3 2≤ 3 2 (a+b)≤ 15 2 , - 3 2≤- 1 2 (a-b)≤ 1 2 ì î í ï ï ï ï ④。所 以 0≤ 3 2 (a+b)- 1 2 (a-b)≤8,即0≤a+2b≤8 ⑤。正解过程④利用不等式“可乘性”,过程 ⑤利用“同向可加性”。 错解、正解两种计算结果无非都是利用 “同向可加性”和“可乘性”,那为什么会有不 同的结果呢? 若令集合 P正解={x|0≤x≤ 8},P错解={x|-2≤x≤10},用同一数轴表 图1 示这两个集合,如图1所示。 由图1可知,错误解法求得 的范围扩大了,用逻辑与集 合的关系可以表示为P正解⊆ P错解,即P正解⇒P错解。对此,仔细思考可以发 现错解中存在一种很隐蔽的逻辑错误———不 等式“同向可加性”是一种“单向”推理过程, 即a>b且c>d⇒a+c>b+d,反过来推导 是错误的。不妨举例说明,当a=10,c=1, b=3,d=2时,满足a+c>b+d,但不满足 a>b且c>d。 把正解、错解过程中的一些技术性工作忽 略掉,利用不等式“可乘性”的“双向”推理与“同 向可加性”的“单向”推理的逻辑思想,重新梳理 下两种解答过程中的逻辑核心部分,如下: 正 解:因 为 1≤a+b≤5, -1≤a-b≤3{ ① ⇔ 3 2≤ 3 2 (a+b)≤ 15 2 , - 3 2≤- 1 2 (a-b)≤ 1 2 ì î í ï ï ï ï ②⇒0≤a+2b≤ 8 ③。 错 解:因 为 1≤a+b≤5, -1≤a-b≤3{ ④,⇒ 0≤a≤4, -2≤2b≤6{ ⑤⇒0≤a+2b≤8 ⑥。 正解中,不等式组①利用“可乘性”得到 不等组②,属于“双向推导”,即两个不等式组 ①和②是等价关系。因此不等式组②利用 “同向可加性”等价于不等式组①利用“同向 可加性”得到不等式③。而错解中,不等式组 ④利用“同向可加性性”得到不等式组⑤,属 于单向推导,也就是说不等式组④与不等式 组⑤是不等价的;而不等式组⑤再次利用“同 向可加性”得到不等式组⑥,犯了逻辑上的 错误。 作者单位:北京师范大学(珠海)附属高 级中学 12 基础数学 障碍分析 自主招生 2020年6月 $$