16.以全国卷为例探究高考题中的数学抽象核心素养-2020年6月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

以全国卷为例探究高考题中的数学抽象核心素养 ■王瑞丁 摘要:本文以两道高考题为例,阐述高考 题中数学抽象核心素养的考查途径与方式, 并通过一题多解的方式说明不同的解法也是 对数学抽象核心素养的不同考查方式。 关键词:高考题;数学抽象;核心素养 《普通高中数学课程标准(2017年版)》 提出数学学科的六大核心素养,即数学抽象、 逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数 据分析。而数学抽象核心素养是六大核心素 养之首,它既是数学的基本思想,也是形成理 性思维的重要基础,它反映了数学的本质特 征并贯穿于数学的产生、发展与应用的整个 过程中。要求学生能够在熟悉的情境中直接 抽象出数学概念和规则,能够在特例的基础 上归纳并形成简单的数学命题,能够模仿学 过的数学方法解决简单问题。下面笔者以两 道高考题为例具体探究高考数学题中的数学 抽象核心素养。 例1 (2017年全国Ⅲ卷理科数学第12题) 在矩形ABCD 中,AB=1,AD=2,动点P 在以 点C 为圆心且与BD 相切的圆上。若AP→= λAB→+μAD→,则λ+μ的最大值为( )。 A.3 B.22 C.5 D.2 图1 解析:由题意,画出 图1。设BD 与☉C 切 于点E,连接CE。以A 为原点,AD 为x 轴正 半轴,AB 为y 轴正半 轴建 立 平 面 直 角 坐 标 系,则各点坐标为A(0,0),B(0,1),C(2,1), D(2,0)。因为|CD|=1,|BC|=2,所以 BD= 12+22= 5。因为BD 切☉C 于点 E,所以CE⊥BD,所以CE 是Rt△BCD 中 斜边 BD 上的高。所以|EC|= 2S△BCD |BD|= 2· 1 2 ·|BC|·|CD| |BD| = 2 5 = 25 5 ,即☉C 的 半径为 25 5 。因为P 在☉C 上,所以P 点的 轨迹方程为(x-2)2+(y-1)2= 4 5 。 接下来求解λ+μ的最大值,采用两种方 法进行解答。 方法一:设P 点坐标为(x0,y0),由题易 知AP→=(x0,y0),AB→=(0,1),AD→=(2,0), 结合题意可知(x0,y0)=(0,λ)+(2μ,0)= (2μ,λ),则λ+μ= x0 2+y0 ,令z= x0 2+y0 ,则 x0+2y0-2z=0。因为点P 在圆(x-2)2+ (y-1)2= 4 5 上,则圆心到直线的距离d 小于 等于圆的半径r,即d= 4-2z 5 ≤ 25 5 ,解 得1≤z≤3,则zmax=3。 方法二:设P 点坐标为(x0,y0),P 点坐 标满足的参数方程为 x0=2+ 2 55cosθ , y0=1+ 2 55sinθ 。 ì î í ï ï ï ï 而 AP→=(x0,y0),AB→=(0,1),AD→=(2,0)。因 为AP→=λAB→+μAD→=λ(0,1)+μ(2,0)= (2μ,λ),所以μ= 1 2x0=1+ 5 5cosθ ,λ= y0=1+ 2 55sinθ 。两式相加得λ+μ=1+ 25 5 sin θ + 1 + 5 5 cos θ = 2 + 25 5 æ è ç ö ø ÷ 2 + 5 5 æ è ç ö ø ÷ 2 sin(θ+φ)=2+sin(θ+ φ)≤3 其中sinφ= 5 5 ,cosφ= 25 5 æ è ç ö ø ÷。当且 仅当θ= π 2+2kπ-φ ,k∈Z时,λ+μ 取得最 大值3。 小结:应用平面向量基本定理表示向量 的实质是利用平行四边形法则或三角形法则 进行向量的加、减或数乘运算。用向量基本 定理解决问题的一般思路是先选择一组基 底,并运用该基底将条件和结论表示成向量 形式,再通过向量的运算来解决。在求解最 22 基础数学 障碍分析 自主招生 2020年6月 $$