17.高考试题的变式探究-2020年6月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

2020-06-17
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中学生数理化高中版编辑部
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资源信息

学段 高中
学科 数学
教材版本 -
年级 高三
章节 -
类型 学案
知识点 -
使用场景 高考复习-强基计划
学年 2020-2021
地区(省份) 全国
地区(市) -
地区(区县) -
文件格式 PDF
文件大小 670 KB
发布时间 2020-06-17
更新时间 2023-04-09
作者 中学生数理化高中版编辑部
品牌系列 中学生数理化·高中自主招生
审核时间 2020-06-17
下载链接 https://m.zxxk.com/soft/13872054.html
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来源 学科网

内容正文:

􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍􀥍 值问题时,可以先转化为线性规划求最值或 者转化为参数方程,然后构造函数求最值。 例2 (2016年全国Ⅰ卷理科数学第21 题)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2 有两个零点。 (1)求a的取值范围。 (2)设x1,x2 是f(x)的两个零点,证明: x1+x2<2。 解析:(1)a 的取值范围为a>0(解题过 程略)。 (2)由(1)知,若x1,x2 是f(x)的两个零 点,则a>0。不妨令x1<x2,则x1<1<x2。 要证x1+x2<2,只要证x1<2-x2。因为 x2>1,所以2-x2<1,当a>0时,f(x)在 (-∞,1)上递减,且f(x1)=0,f(1)<0,所 以只 要 证 f(2-x2)<0。f(2-x2)= -x2e2-x2+a(1-x2)2,又f(x2)= (x2 - 2)ex2+a(x2-1)2=0,所以 f(2-x2)= -x2e2-x2-(x2-2)ex2。令y=-xe2-x- (x-2)ex(x>1),y'=-e2-x+xe2-x-ex- (x-2)ex=(x-1) e2-e2x ex ,因为x>1,所以 x-1>0,e2<e2x,所以y'<0。所以y= -xe2-x-(x-2)ex 在(1,+∞)上递减,当 x=1 时,y =0。因 为x>1,y <0,即 f(2-x2)<0成立,所以x1+x2<2成立。 小结:对于含有参数的函数单调性、极 值、零点问题,通常要根据参数进行分类讨 论,要注意分类讨论的原则是不缺、不漏、最 简。解决函数不等式的证明问题的思路是构 造适当的函数,利用导数研究函数的单调性 或极值破解。这里构造函数来解决问题,突 出了对数学抽象核心素养的考查。 参考文献: [1]中华人民共和国教育部.普通高中数 学课程标准(2017年版)[M].北京:人民教育 出版社,2018. 作者单位:江苏省邗江中学 高考试题的变式探究 ■付 鹏(指导老师:张昆龙) 历年高考试题集中考查了学生对基础知 识的理解情况、基础能力的发展情况及基本 态度和价值观的形成情况,对高考试题的深 入研究是高中学习的一个重要方面。以高考 试题为基础,对其采用合适的方式进行变式 训练,同样也是高中学习的重要方式之一。 通过不断地对高考真题进行变式,从而使学 生在“变”的现象中发现“不变”的本质,从“不 变”的本质中探究“变”的规律。 一、高考真题中的变式 例1 (2010年全国新课标Ⅰ卷理科第 12题)已知双曲线E 的中心为原点,F(3,0) 是E 的焦点,过F 的直线l与E 相交于A,B 两点,且AB 的中点为N(-12,-15),则E 的方程为( )。 A. x2 3- y2 6=1 B. x2 4- y2 5=1 C. x2 6- y2 3=1 D. x2 5- y2 4=1 例2 (2013年全国新课标Ⅰ卷理科第 10题)已知椭圆 x2 a2+ y2 b2=1 (a>b>0)的右焦 点为F(3,0),过点F 的直线交椭圆于A,B 两点。若AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为( )。 A. x2 45+ y2 36=1 B. x2 36+ y2 27=1 C. x2 27+ y2 18=1 D. x2 18+ y2 9=1 分析:我们可以看到例1和例2两道试 题都是通过直线与圆锥曲线结合考查圆锥曲 线中点弦结论的推导、应用及变形,所依托的 背景分别是圆锥曲线中的双曲线与椭圆, 2013年的考题只是把双曲线方程改成了椭 圆方程进行考查而已。看起来两道题没有什 么关联,但其本质上是一致的,考查的内容与 做题方法一模一样,两道题如出一辙。 所谓“万变不离其宗”,变式里的“宗”指 32 基础数学 我的学习发现 自主招生 2020年6月 的就是事物在数与形方面的本质特征。简而 言之,在试题变式过程中,不变的是理论、公 式等,改变的只是一些题目及其他的外在形 式,目的只是为了让学生掌握“宗”。因此启 示我们应该研究透彻高考真题,不能就题论 题,要充分理解高考试题的内涵与外延,而利 用变式的形式可以将一道真题从不同角度进 行变换与发散,从而使学生能够理解不同知 识的内在联系及问题的本质特征。 二、以高考真题为基础的变式探究 1.一变二,辩证对比中看待问题 所谓一变二就是指我们辩证地看待高考 试题。一变二不仅仅指的是从一个问题的正 面角度与反面角度去思考问题,还可以从抽 象到具体、从特殊到一般、从主到次、从静到 动等各个方面设计问题。比如,从具体函数 的定义域到抽象函数定义域

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