18.在空间动态背景下要会建系解题-2020年6月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

在空间动态背景下要会建系解题 ■钱浩鹏(指导老师:褚人统) 大家在求解空间旋转类数学问题时,若 仅凭直观感觉,则很难获得正确结论;若采用 代数方法,则过程烦琐难解;若能建立合适的 空间直角坐标系,将动态变化问题转化成向 量问题,则能够获得清晰的解题思路,顺利求 得最终结果。下列举例分析。 图1 例1 如图1所示,在△ABC 中,AC⊥BC,BC=1,AC=a,D 是AB 的中点,将△BCD 沿直线 CD 翻折,若在翻折过程中存在某 个位置,使得CB⊥AD 成立,则a 的取值范围是 。 图2 解:建立空间直角坐 标系及坐标标注情况如图 2所示。在翻折过程中, 始终有|BC|=1,|BD|= 1 2 a 2+1,D 12a ,1 2 ,0( ), CB→=(x,y,z),AD→= -12a, 1 2 ,0( )。当 CB⊥AD,即- 1 2ax+ 1 2y=0 时,有x2+ y2+z2=1,x- 1 2a( ) 2 + y- 1 2( ) 2 +z2= 1 4 (a2+1),y=ax,即x= 1 2a ,y= 1 2 ,z2= 3a2-1 4a2 ,解得a≥ 3 3 。 评注:上述解法虽有一定的运算量,但思 路清晰,思考量小,远胜于传统的思维方法。 图3 例2 如图3所示,在正方 形ABCD 中,E,F 分别为线段 AD,BC 上的点,∠ABE=20°, ∠CDF=30°。将△ABE 绕直 线BE、△CDF 绕直线CD 各自 独立旋转一周,则在所有旋转过程中,直线 AB 与直线DF 所成角的最大值为 。 直觉推理:按照题意就会得到两个圆锥, 即以BE 为轴的圆锥和以DC 为轴的圆锥, 在两个圆锥上各任意取一条母线,这两条母 线(大多是异面直线关系)所成的角就是题意 所求。根据异面直线所成角的定义,只能改 变(平移)圆锥的位置求解。尝试把以DC 为 图4 轴的圆锥平移,并进行反 向延长,得图4。当两母 线分别是BA1,BM1 的时 候,所求的夹角为70°,为 最大。 进一 步 问:当 直 线 AB 与直线DF 在什么情 图5 况下 所 成 角 最 小呢? 解:如图5, 建立 空 间 直 角 坐标系,不妨设 正方 形 的 边 长 为 1。在 圆 C 上任 意 取 一 点 P,由 CF = 3 3 ,得 P 1+ 3 3cost ,3 3sint ,0 æ è ç ö ø ÷,t∈[0,2π),在圆 O1 上任意取一点Q(x,y,z),其中P,Q 是 两个相互独立的运动点。分析Q 点,Q 点可 由|BQ|=1和BO1→·O1Q→=0来确定,其中, O1(cos20°sin20°,0,cos220°),所以 Q 点是 由方程组 x2+y2+z2=1, xtan20°+z=1{ 确定的。 设两圆锥的母线DP→、BQ→的夹角为θ(这 是 所 求 的 范 围 )。 所 以 DP→ = 3 3cost ,3 3sint ,-1 æ è ç ö ø ÷,BQ→ = (x,y,z), DP→ = 233 , BQ → = 1,得 cosθ = |BP→·BQ|→ BP→ · BQ→ ,即cosθ= 3 2 3 3xcost+ 52 基础数学 我的学习发现 自主招生 2020年6月 $$