19.例谈动点设立的技巧-2020年6月刊高中自主招生强基计划《中学生数理化》

􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔􀥔 3 3ysint-z = 1 2|xcost+ysint- 3z| ,令 ∠ABQ=α,由射影可知z=cosα,0°≤α≤ 40°。设sinβ= x x2+y2 ,cosβ= y x2+y2 , β∈[0,2π),结合 x2+y2= 1-z2=sinα, 得cosθ= 1 2|sinαsin (t+β)- 3cosα|≥ 3 2cosα - sin(t+β) 2 sinα 。 由0°≤α≤40°,显 然 有 3 2cosα - sin(t+β) 2 sinα >0 ;又由t的独立性,要使 等号成立,需要sin (t+β) 2 ≥0 ;显然当α=40° 且sin(t+β)=1时,式子达到最小值,即 3 2cosα - sin(t+β) 2 sinα =cos70° ,即θ 取到最大值70°;当α=40°时,由Q 点满足的方 程组可得z=cos40°,x=sin40°,y=0,从而有 β=90°,t=0°,即Q 点与A1 点重合,P 点与 N 点重 合。又 在cosθ= 1 2|sinαsin (t+β)- 3cosα|中,令sin(t+β)=-1,则cosθ= sin(α+60°),取α=30°,可得cosθ的最大值 为1,即θ 取 到 最 小 值 0°。此 时 z=1+ cos30°,x = 2tan 70° sin215°,y = ± 1 4-4tan 270°sin415°。再求β 的值。然 后由sin(t+β)=-1可求得t的值,即证明了 “θ取到最小值0°”的确定(存在)性,这就验 证了两个圆锥面的公共部分应该是直线(公 共母线)。 综上可知,直线 AB 与直线DF 所成角 的范围为0°~70°。 评注:求解空间动态问题,建立合适的空 间直角坐标系,将动态问题转化为向量问题, 可以获得事半功倍的效果。 作者单位:浙江省天台中学2018级10班 例谈动点设立的技巧 ■许小如(指导教师:徐 扬) 由圆锥曲线上一个主动点而产生的相关 问题的解决,都回避不了主动点的假设,如何 设立这个主动点,这正是许多读者感到困难 的一点。 图1 例题 已知直线 x-2y+2=0经过椭 圆 C: x2 a2 + y2 b2 =1 (a>b>0)的左顶点 A 和上顶点D,椭圆 C 的右顶点为B,S 是椭圆C 上位于x 轴上 方的动点,直线AS,BS 与直线l:x= 10 3 分别 交于 M,N 两点。 (Ⅰ)求椭圆C 的方程。 (Ⅱ)求线段 MN 的长度的最小值。 解:(Ⅰ)椭圆C 的方程为 x2 4+y 2=1。 (Ⅱ)总体视角。若 S 点确定,则直线 AS,BS,点 M,N 都也跟着确定。这需先找 一个主动变量t,变化范围是清楚的,使得 MN (变量)表示为主变量t的函数,然后 求 MN 的最小值。 视角1:参数设置法———换元法。由于 圆锥曲线既有普通方程,又有参数方程,所以 设定坐标时可以只含有一个参数,参数设置 法应该是首选的方法。 解法1:设点S 的坐标为(2cosθ,sinθ) (θ∈(0,π)),则 直 线 AS 的 方 程 为 y= sinθ 2(1+cosθ) (x+2),得M 103 ,8 3 · sinθ 1+cosθ( )、 62 基础数学 我的学习发现 自主招生 2020年6月 N 103 ,2 3 · sinθ cosθ-1( ), 所 以 MN = 10-6cosθ 3sinθ 。 设 t = 10-6cosθ 3sinθ , 即 3tsinθ+6cosθ=10,由题意得 9t2+36≥ 10,即 MN = t ≥ 8 3 。 当t= 8 3 时,8 3= 10-6cosθ 3sinθ ⇔ 3 5cosθ+ 4 5sinθ=1⇔cos (θ-α0)=1,其中α0 是锐角 且满足cosα0= 3 5 ,θ∈(0,π)的只有θ=α0, 此时,对应的点S 为 65 ,4 5( );当t=- 8 3 时, - 8 3= 10-6cosθ 3sinθ ⇔ 3 5cosθ- 4 5sinθ=1⇔ cos(θ+α0)=1,其 中 α0 是 锐 角 且 满 足 cosα0= 3 5 ,这样,不存在θ∈(0,π),无解。 所以线段 MN 的长度的最小值为 8 3 ,对 应的点S 为 65 ,4 5( )。 视角2:一般坐标(x,y)设置法———直接 设置法。圆锥曲线的普通方程有其“普通 性”,则其应用一定有“广泛性”。直接设置法 的特点是设置(x,y)时简单,应要充分注意 这个主动点所在曲线的性质———x 与y