精品解析：湖南省长沙市长郡中学2020届高三下学期第一次高考模拟理科数学试题

2020年长沙市长郡中学高考数学模拟试卷（理科）（一） 一、选择题（共12小题）. 1. 在复平面内与复数所对应点关于实轴对称的点为，则对应的复数为（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，则下列关系正确的是 A. B. C. D. 3. 设为区间内的均匀随机函数，则计算机执行下列程序后，输出的值落在区间内的概率为 A. B. C. D. 4. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知数列的首项，且满足，则的最小的一项是 A. B. C. D. 6. 我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为（　　） A. 40 B. 43 C. 46 D. 47 7. 2019年成都世界警察与消防员运动会期间，需安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去三个场馆参与服务工作，要求每个场馆至少一人，则甲乙被安排到同一个场馆的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为上的奇函数， ， 在为减函数．若， ， ，则a，b，c的大小关系为 A. B. C. D. 9. 已知△SAB是边长为2的等边三角形，∠ACB＝45°，当三棱锥S﹣ABC体积最大时，其外接球的表面积为（　　） A. B. C. D. 10. 已知锐角角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，的面积，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 11. 过抛物线C：x2＝4y的准线上任意一点P作抛物线的切线PA，PB，切点分别为A，B，则A点到准线的距离与B点到准线的距离之和的最小值是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 12. 不等式对任意恒成立，则实数的取值范围 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上） 13. 已知的展开式的所有项系数之和为27，则实数______，展开式中含的项的系数是______. 14. 根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有满足“勾3股4弦5”，其中“股”，为“弦”上一点（不含端点），且满足勾股定理，则______. 15. 在数列中，，，曲线在点处的切线经过点，下列四个结论：①；②；③；④数列是等比数列；其中所有正确结论的编号是______. 16. 已知一簇双曲线En：x2﹣y2＝（）2（n∈N*，且n≤2020），设双曲线En的左、右焦点分别为F、F，Pn是双曲线En右支上一动点，三角形PnF的内切圆Gn与x轴切于点An（an，0），则a1+a2+…a2020＝_____． 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知内接于单位圆，且， （1）求角 （2）求面积的最大值． 18. 如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD中点，以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）． （1）证明：AE⊥PB； （2）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角A﹣PE﹣C的余弦值． 19. 某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”精神，鼓励农户利用荒坡种植果树.某农户考察三种不同的果树苗、、，经引种试验后发现，引种树苗的自然成活率为0.8，引种树苗、的自然成活率均为. （1）任取树苗、、各一棵，估计自然成活的棵数为，求的分布列及； （2）将（1）中的取得最大值时的值作为种树苗自然成活的概率.该农户决定引种棵种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活. ①求一棵种树苗最终成活的概率； ②若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种种树苗多少棵？ 20. 已知椭圆的离心率为，且与抛物线交于两点，△（为坐标原点）的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）如图，点为椭圆上一动点（非长轴端点），为左，右焦点，的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，求△面积的最大值. 21. 设函数为的导函数. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）当时，证明； （Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明. 请考生在22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个