专题16 以基本不等式为背景的应用题-【邦国教育】2020届江苏省高考数学二轮专项能力提升强化训练（PDF版）

专题 16 以基本不等式为背景的应用题 1、【2017 年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x吨，运费为 6 万元/次，一年的总 存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小 ，则 x的值是___________． 2、【2010 年高考江苏卷】某兴趣小组要测量电视塔 AE 的高度 H(单位：m)．示意图如图所示，垂直放置的 标杆 BC 的高度 h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β. (1) 该小组已测得一组α，β的值，tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出 H 的值； (2) 该小 组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位：m)，使α与β之差较 大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为 125 m，试问 d为多少时，α－β最大？ [来源:Z+xx+k.Com] 3、【2013 年高考 江苏卷】如图，建立平面直角坐标系 xOy，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长 度为 1 km.某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程 y＝kx－ 1 20 (1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其 中 k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1) 求炮的最大射程； (2) 设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为 3.2 km，试问它的横坐标 a不超过多少时， 炮弹可以击中它？请说明理由． [来源:Zxxk.Com] 一、解函数应用问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数 量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语 言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模 型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下： 二、在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义 域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合.运用基本不等式解决应用题一定要注意 满足三个条件：一、正；二、定；三、相等。 题型一、与几何体有关的应用题 以几何为载体的应用题常见与圆、扇形等特色的图形，此类问题的关键是把各个线段表示出来，进 二 列出函数的解析式，与几何体有关的导数问题，常常涉及到表面积与体积的问题，解题关键就是通过引入 参数表示表面积或者体积，然后运用导数进行求解。 例 1、(2016 常州期末）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积 为 900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等 的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔 1 m， 三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留 3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为 x(m)，三块种植植物的矩形区域的总面积．．．为 S(m 2)． (1) 求 S关于 x的函数关系式； (2) 求 S的最大值． 例 2、(2017 南京、盐城二模）在一张足够大的纸板上截取一个面积为 3 600 平方厘米的矩形纸板 ABCD，然 后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒 (如图)．设小正方形边长为 x 厘米，矩形纸板的两边 AB，BC 的长分别为 a厘米和 b厘米，其中 a≥b. (1) 当 a＝90 时，求纸盒侧面积的最大值； (2) 试确定 a，b，x 的值，使得纸 盒的体积最大，并求出最大值． [来源:Zxxk.Com] 例 3、(2016 盐城三模）一位创业青年租用了一块边长为 1 百米的正方形田地 ABCD 来养蜂、产蜜与售蜜， 他在正方形的边 BC，CD 上分别取点 E，F(不与正方形的顶点重合)，连结 AE，EF，FA，使得∠EAF＝45°. 现 拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，△AEF 部分规划为蜂巢区，△CEF 部分规划为蜂蜜交易区. 若蜂 源植物生长区的投入约为 2×105元/百米 2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为 105元/百米 2，则这三个区域的 总投入最少需要多少元？ 题型二、与利润等有关的应用题 与利润有关的问题关键是要认真审题，只有在审题的基础上才可以正确列出函数的解析式，要特别注 意函数的定义域和单位的统一。 例4、(2019南京学情调研）销售甲种商品所得利润是 P万元，它与投入资金 t万元的关系有经验公式 P＝ at t＋1 ； 销售乙种商品所得利润是 Q万元，它与投入资金 t万元的关系有经验公式 Q＝bt，其中 a，b为常数．现将 3万元资金全部投入甲、乙两 种商品的销售；若全部投入甲种商品，所得利润为9 4 万元；若全部投入乙种商 品，所得利润为