内蒙古呼和浩特市2020届高三第一次质量普查调研考试（一模）数学（理）试题（可编辑PDF版）

2020 年呼和浩特市高三年级第一次质量普查调研考试 理科数学参考答案 一、选择题： ABDCA CCBAB CD 二、填空题： 13. 240 14. 𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝒚𝒚 − 𝝅𝝅 + 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎 15. 𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟏𝟏 16. 4 ， 2 三、解答题：本大题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 12 分） 解: (Ⅰ) ∵ cosB = 2√5 5 ,可得： sinB = √1 − cos2𝐵𝐵 = √5 5 , ----------------------------------1 分 ∵ AC sinB = AB sinC , AB = 2AC, ∴ sinC sinB = AB AC = 2 -----------------------------------------3分 ∵ BD = AD,可得∠ADC = 2∠B, ∴ sin∠ADC = sin2B = 2sinBcosB,-----------------------------4 分 ∴在 △ ADC 中 AD AC = sinC sin∠ADC = 2sinB 2sinBcosB = 1 cosB = √5 2 ------------6分 (Ⅱ)设 AC = 𝑡𝑡,则 AB = 2𝑡𝑡,在 △ ABC 中,由余弦定理可得: cosB = �√3� 2 +(2𝑡𝑡)2−𝑡𝑡2 4√3𝑡𝑡 , 解得 t = √15 3 或 t = √15 5 ------------------------------------8 分 因为 BD = 2DC,所以 DC = √3 3 又由(1)知 sinC sinB = AB AC = 2 1 所以 sinC = 2sinB = 2√5 5 由(1)知,当 AC = √15 3 时𝑆𝑆△ACD = 1 2 |AC|. |CD|. sinC = 1 3 ----------------10 分 当 AC = √15 5 时𝑆𝑆△ACD = 1 2 |AC|. |CD|. sinC = 1 5 ---------------------11 分 综上 △ ACD 的面积为 1 3 或 1 5 ----------------------------12 分 18.（本小题满分 12 分） (Ⅰ)证明：连接 BD 交 AE 于点 O， 依题意得 AB DA = AD DE = 2，Rt△ ABD～Rt△ DAE， ---------------------2分 ∴ ∠DAE = ∠ABD， 得∠AOD = 90°，则AE ⊥ BD， 即OB ⊥ AE，OD′ ⊥ AE， 又 OD′ ∩ OB = O，OB，OD′ ⊂平面OBD′． ∴ AE ⊥平面OBD′．--------------------------------------------3 分 又BD′ ⊂平面OBD′， ∴ AE ⊥ BD′； ------------------------------------------6 分 (Ⅱ)：∵平面AD′𝐸𝐸 ⊥平面 ABCE，平面AD′𝐸𝐸 ∩平面ABCE = AE， OD′ ⊂平面AD′𝐸𝐸，AE ⊥ OD′， 所以OD′ ⊥平面 ABCE， 以 O 为原点，建立空间直角坐标系O − xyz如图所示． 在Rt△ AD′𝐸𝐸 中，求得OD′ = 2 √5 ，OA = 4 √5 ，OE = 1 √5 ， ∴ A( 4 √5 , 0,0)，B(0, 8 √5 , 0)，D′(0,0, 2 √5 )，------------------------------8 分 则AB�����⃗ = (− 4 √5 , 8 √5 , 0)，BD′������⃗ = (0,− 8 √5 , 2 √5 )， 设平面ABD′的法向量n1����⃗ = (x, y, z)， 则� n1����⃗ ⋅ AB�����⃗ = 0 n1����⃗ ⋅ BD′������⃗ = 0 �，即� − 4 √5 x + 8 √5 y = 0 − 8 √5 y + 2 √5 z = 0 �，解得�x = 2yz = 4y �， 令y = 1，得n1����⃗ = (2,1,4)，--------------------------------------10 分 显然平面 ABE 的一个法