专题08 三角形中线长定理的应用-2020年江苏高考数学压轴题突破（填空题）

专题08 三角形中线长定理的应用 【方法点拨】 1. 中线长定理（也称阿波罗尼奥斯定理）:中, 是边上的中线，则. 2.矩形中，.即：矩形所在平面内任一点到矩形两对角线的端点的距离的平方和相等. 说明: (1)命题1是“平行四边形两条对角线的平方和等于四边平方和”这一结论的三角形的形式，也就是中线长定理（也称阿波罗尼奥斯定理） (2)命题2可有效的解决图形中有“垂直关系”的问题，其实质就是中线长定理在矩形中的进一步的推论. 【典型题示例】 例1 （2020·南京三模·14）在△ABC中，∠A＝，D是BC的中点．若AD≤ BC，则sinBsinC的最大值为 ． 【答案】 【分析】看到“中线”想“中线长定理”，然后利用正弦定理将边化角. 【解析】在△ABCN中，根据中线长定理， 又AD≤BC， 由余弦定理得， 即，所以， 由正弦定理得． 例2 （2020·如皋中学第二学期语数英学科模拟（二））在平面直角坐标系xOy中，已知MN在圆C：上运动，且MN＝．若直线l：上的任意一点P都满足，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】P、M、N均为动点，“动中寻静”.注意到MN为圆中定长的弦，“遇弦想中点”，取MN中点设为T，则T点的轨迹是圆，在△PMN中，根据中线长定理，，故，进一步转化为. 解析：取MN中点设为T ∵MN＝，∴CT＝，即T点的轨迹是以C为圆心，为半径的圆. 在△PMN中，根据中线长定理，，故， 由点到直线的距离公式得： 解之得：，故实数k的取值范围是． 例3 在平面直角坐标系xOy中，已知圆，点P，M、N为圆O上两个不同的点，且，若，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】显然四边形PMQN为矩形，由矩形的几何性质（矩形所在平面上的任意一点到其对角线上的两个顶点的距离的平方和相等），有，所以OQ＝， 故Q在以O为圆心，半径为的圆上，因为OP＝，所以PQ的最小值为． O x y P M N Q 【巩固训练】 1.（2020·江苏百校第四次联考）已知圆，直线与圆交于两点，，若，则弦长度的最大值为___________. 2.已知圆O：，点A(2，2)，直线l与圆O交于P，Q两点，点E在直线l上且满足．若AE2＋2AP2＝48，则弦PQ中点M的横坐标的取值范围为