专题11 三角形角平分线性质的应用-2020年江苏高考数学压轴题突破（填空题）

专题11 三角形角平分线性质的应用 【方法点拨】 1.内角平分线定理：如图，AD为∠BAD的内角平分线，则，反之成立. 2.外角平分线定理：如图，AD为∠BAD的外角平分线，则，反之成立. 【典型题示例】 例1 在△ABC中，AB＝2，AC＝3，角A的平分线与AB边上的中线交于点O，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的值为________. 【答案】 【解析】　如图，在△AEC中，AD为∠BAC的平分线，由内角平分线性质定理得＝， 因为AE＝AB＝1，AC＝3，所以＝，从而＝＋，＝＋，因为＝x＋y，所以x＝，y＝，于是x＋y＝. 例2 一椭圆中，点，分别是该椭圆的左右焦点，点A是该椭圆上一点，射线AD是∠A的角平分线，点I是△A的内心，且满足关系,则该椭圆的离心率为________. 【答案】 【解析】由角平分线定理，， 所以该椭圆的离心率为. 【巩固训练】 1.在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＋c2＝b2－ac，若∠BAC的平分线AD交BC边于点D，AD＝2，BD＝1，则cos C＝________. 2.（2020·衡水中学·四调）已知是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，，且平分，则________． 3. 在△ABC中，已知AC＝5，AB＝12，AD为∠BAC的平分线，D在BC上，CD＝，则AD＝________. 4. 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________． 【参考答案】 1.【答案】 【解析】因为a2＋c2＝b2－ac，所以cos B＝＝－＝－. 因为B∈(0，π)，所以B＝. 如图，在△ABD中，由正弦定理得＝，则sin∠BAD＝＝＝，所以cos∠BAC＝cos 2∠BAD＝1－2sin2∠BAD＝1－2×＝，所以sin∠BAC＝＝＝，所以cos C＝cos＝cos cos∠BAC＋sin sin∠BAC＝×＋×＝. 2.【答案】 3.【答案】　 【解析】在△ABD，△ADC中，由正弦定理可得＝，＝. 又∠BAD＝∠CAD，∠ADB＋∠ADC＝π，所以有＝＝，即BD＝， 故BC＝＋＝13. 即AC2＋AB2＝144＋25＝169＝BC2，所以△ABC为直角三角形且A＝. 在△ADC中，由正弦定