专题12 数列通项结构的应用-2020年江苏高考数学压轴题突破（填空题）

专题12 数列通项结构的应用 【方法点拨】 1.数列{an}是等差数列⇔an＝pn＋q(p，q为常数). 2. 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数). 3. 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则也是等差数列，且其首项为a1，公差为{an}公差的. 4.两个等差数列{an}、{bn}的前n项和Sn、Tn之间的关系为. 5.两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若，则. 【典型题示例】 例1 （2020·盐城中学五月模拟·10）已知是首项为2，公比为的等比数列，且的前项和为，若也为等比数列，则 ． 【答案】2 【解析】因为是首项为2，公比为的等比数列． 所以． 为等比数列，则也为等比数列． 所以，即． 点评：等比数列通项的结构特征是：. 例2 已知数列的{an}的前n项和Sn，若{an}和都是等差数列，则的最小值是 . 【答案】21 【解析】设该等差数列的公差为， 则由等差数列求和公式得. 又因为数列为等差数列，，故. 所以，当且仅当时，“=”成立. 所以的最小值是21. 例3 已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是 . 【答案】5 【解析】根据等差数列前项和的公式不难得到： （﹡） （﹡）式是一个关于的一次齐次分式，遇到此类问题的最基本的求解策略是“部分分式”——即将该分式逆用通分，将它转化为分子为常数，只有分母中含有变量 因为 所以，要求使得为整数的正整数，只需为的不小于的正约数 所以 例4 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 014，－＝6，则S2 020等于________. 【答案】2 020 解析：由等差数列的性质可得也为等差数列，设其公差为d， 则－＝6d＝6，∴d＝1，且首项为＝－2 014. 故＝＋2 015d＝－2 014＋2 015＝1， ∴S2 020＝1×2 020＝2 020. 【巩固训练】 1. (2015·南京、盐城、徐州二检·10)记等差数列{an}的前n项和为，已知，且数列也为等差数列，则= . 2. 已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22，数列{bn}满足bn＝（其中c≠0