专题15 数列中的恒成立问题-2020年江苏高考数学压轴题突破（填空题）

专题15 数列中的恒成立问题 【方法点拨】 数列中的恒成立问题较函数中恒成立问题更难，但方法是想通的，一般都要分离参数，一般都要转化为研究单调性，但由于数列定义域是离散型变量,不连续，这给研究数列的单调性带来了难度,其一般解决方法是作差或作商. 【典型题示例】 例1 已知常数，设各项均为正数的数列的前项和为,满足：，（）．若对一切恒成立，则实数的取值范围是 ． 分析：已知条件中含“项、和”，需抓住特征，实施消和. 【答案】 【解析】∵ ， ∴ 则，， 相加，得 则 上式对也成立， ∴．　③ ∴．　④ ④－③，得 即 ∵，∴ . ∵对一切恒成立， ∴对一切恒成立． 即对一切恒成立． 记,则 当时，； 当时， ∴ 是中的最大项． 综上所述，的取值范围是. 例2 正数数列的前项和为，，设为实数，对任意的三个成等差数列的不等的正整数,,，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】将移项平方得， 当时，即 化简得，所以或（舍去）， 令，解得.所以. 根据题意，又，所以，所以. 例3 若不等式＋＋…＋>a－7对一切正整数n都成立，则正整数a的最大值为________． 【答案】8 【分析】要求正整数a的最大值，应先求a的取值范围，关键是求出代数式＋＋…＋的最小值，可将其视为关于n的函数，通过单调性求解． 【解析】令f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)， 对任意的n∈N*，f(n＋1)－f(n)＝＋＋－＝>0， 所以f(n)在N*上是增函数． 又f(1)＝，对一切正整数n，f(n)>a－7都成立的充要条件是>a－7， 所以a<，故所求正整数a的最大值是8. 点评：本题是构造函数法解题的很好的例证．如果对数列求和，那就会误入歧途．本题构造函数f(n)，通过单调性求其最小值解决了不等式恒成立的问题．利用函数思想解题必须从不等式或等式中构造出函数关系并研究其性质，才能使解题思路灵活变通. 【巩固训练】 1.已知数列中，则在数列则数列的前50项中最小项为第 _ ___项，最大项为第___ _项. 2.等比数列的首项，公比，设，则中第______项最大. 3.已知，则在数列的最大项为第______项. 4.求使得不等式对恒成立的正整数的最大值为____________. 5.数列若对任意恒成立，则正整数m的最小