专题04 利用“形”求最值-2020年江苏高考数学压轴题突破（填空题）

专题04 利用”形”求最值 【方法点拨】 一般地，对于以下结构的问题需要注意其式子的几何意义： (1)表示两点间的距离或向量的模； (2)k＝表示过点(a，b)与(x，y)的直线的斜率； (3)Ax＋By与直线Ax＋By＋C＝0的截距有关； (4)P(cosθ，sinθ)表示单位圆x2＋y2＝1上的任意一点； (5)a2±ab＋b2与余弦定理有关，在解题过程中可以利用这些式子的几何意义构造一些特殊的函数. 【典型题示例】 例1 (2020·泰州期末·14） 已知不等式(m－n)2＋(m－lnn＋λ)2≥2对任意m∈R，n∈(0，＋∞)恒成立，则实数λ的取值范围为________． 【答案】[1，＋∞) 【分析】由于条件“(m－n)2＋(m－lnn＋λ)2≥2”中平方和的特征，可联想到两点(m，m＋λ)，(n，lnn)的距离公式，而点(m，m＋λ)，(n，lnn)分别是直线y＝x＋λ和曲线f(x)＝lnx上动点，故可转化为直线y＝x＋λ和曲线f(x)＝lnx上点之间的距离大于等于. 【解析】条件“不等式(m－n)2＋(m－lnn＋λ)2≥2对任意m∈R，n∈(0，＋∞)恒成立”可看作“直线y＝x＋λ以及曲线f(x)＝lnx上点之间的距离恒大于等于”． 如图，当与直线y＝x＋λ平行的直线与曲线f(x)＝lnx相切时，两平行线间的距离最短，f′(x)＝＝1，故切点A(1,0)，此切点到直线y＝x＋λ的距离为≥，解得λ≥1或λ≤－3(舍去，此时直线与曲线相交)． 例2 （2013·盐城二检·14）若实数、、、满足，则的最小值为 . 【分析】由平方结构特点产生了结构联想：类似两点间的距离公式， 【解析】∵, ∴ 分别为两个函数的图象上任意一点. ，所以，所以过点且斜率为3的切线方程为：， 即:3x-y-2-2ln2=0,:y=3x-4 两直线的距离即为之距的最小值，即为，但是所求为距离的平方，所以结果为. 【点评】这种平方和结构从形的角度常想到两点的距离，从数的角度常想到基本不等式. 例3 已知对于一切x，y∈R，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】将已知变形为： 左边的几何意义是动点与动点的距离平方（下略）. 例4 （2020·衡水中学上学期期中）设，其中，则的最小值是____