专题05 多元变量最值问题（拆凑法）-2020年江苏高考数学压轴题突破（填空题）

专题05 多元变量最值问题（拆凑法） 【方法点拨】 拆凑的目的在于能直接使用基本不等式，沟通已知与所求，对于分式型，更在于使用基本不等式后，能形成约分的效果. 【典型题示例】 例1 若实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是________． 【答案】 【解析一】从结论出发，注意到已知中不含“y2”项，故拆“x2”项的系数 设x2＋y2=tx2－tx2＋y2=tx2－tx2＋y2]≥tx2 xy(0<t<1) ※ 则t:，解之得：t 代人※得：x2＋y2≥x2xy)= ∴x2＋y2的最小值是． 【解析二】从已知出发，注意到结论中不含“xy”项，故拆“xy” 项的系数 设x2＋2xy＝x2＋2(tx)( y)≤x2＋[(tx)2+( y) 2]= (1+t2)x2+ y 2 则(1+t2):=1:1(下略). 例2 （2018·姜堰等五校一检）已知，则的最小值为 ． 【答案】4 【解析】注意到分母中因式均含c，故需拆分子含“c2” 项的系数 设 故，解之得：t，所以 当且仅当，，即，时，等号成立. 则，当且仅当时，等号成立. 例3 （2018·清华大学领军计划·10）已知实数满足，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】设 则 令，解之得，所以 所以. 【巩固训练】 1.(2018·南京期末)已知正实数x，y满足x2＋xy－2y2＝1，则5x－2y的最小值为________． 2.已知，则的最小值为 . 3.当是正实数时,的最大值是 ． 【参考答案】 1.【答案】4 【解析】将已知条件左边分解因式得x2＋xy－2y2=( x－y) ( x+2y)=1 因为x，y是正实数，且( x－y) ( x+2y)=1>0，所以x－y >0 ， x+2y>0 设5x－2y=a( x－y)+b ( x+2y)，则a=4，b =1，所以5x－2y=4( x－y)+ ( x+2y) 由基本不等式得 2.【答案】 【解析一】. 【解法二】，设，. 则满足等式的x,y存在，去分母后配方得： ，故，解得. 3.【答案】 【解法一】 【解法二】设 所以,即,故,解之得. 【解法三】令 , . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$