4.1 函数存在性问题-2020中考数学【中考夺标】全国各省市中考试题分类

Z H O N G K A O D U O B I A O 中 考 数 学 试 题 分 类 2 0 0 2 由树状图知共有 16 种等可能结果， 其中符合条件的有 9 种结果， 所以此结果的概率为 9 16 . 数学学科综合题 一、 函数存在性问题 1. 【解析】 （ 1 ） 将 A （ -3 ， 0 ）， B （ 5 ， -4 ） 代入得 9a-3b-4=0 ， 25a+5b-4=-4 4 ， 解得 a= 1 6 ， b=- 5 6 . ∴ 抛物线的解析式为 y= 1 6 x 2 - 5 6 x-4. （ 2 ） 证明： ∵AO=3 ， OC=4 ， ∴AC=5. 取 D （ 2 ， 0 ）， 则 AD=AC=5. 由两点间的距离公式可知 BD= （ 5-2 ） 2 + （ -4-0 ） 2 姨 =5. ∵C （ 0 ， -4 ）， B （ 5 ， -4 ）， ∴BC=5. ∴BD=BC. 在 △ABC 和 △ABD 中， AD=AC ， AB=AB ， BD=BC ， ∴△ABC≌△ABD ， ∴∠CAB=∠BAD ， ∴AB 平分 ∠CAO. （ 3 ） 存在， 如图 2 所示， 抛物线的对称轴交 x 轴于点 E ， 交 BC 于点 F. 抛物线的对称轴为 x= 5 2 ， 则 AE= 11 2 . ∵A （ -3 ， 0 ）， B （ 5 ， -4 ）， ∴tan∠EAB= 1 2 . ∵∠M′AB=90°. ∴tan∠M′AE=2. ∴M′E=2AE=11 ， ∴M′ 5 2 ， 1 1 ' 1 . 同理 tan∠MBF=2. 又 ∵BF= 5 2 ， ∴FM=5 ， ∴M 5 2 ， - 1 - 9 . ∴ 点 M 的坐标为 5 2 ， 1 1 - 1 或 5 2 ， - 1 - 9 . 2. 【解析】 （ 1 ） 设直线 CD 的解析式为 y=kx+b ， 则有 12k+b=0 ， 6k+b=3 4 ， 解得 k=- 1 2 ， b=6 4 ， ∴ 直线 CD 的解析式为 y=- 1 2 x+6. （ 2 ） ① 如图 1 中， 作 DP∥OB ， 则 ∠PDA=∠B. ∵DP∥OB ， ∴ PA AO = AD AB ， ∴ PA 6 = 3 8 ， ∴PA= 9 4 ， ∴OP=6- 9 4 = 15 4 ， ∴P 15 4 ， 1 - 0 ， 根据对称性可知， 当 AP=AP′ 时， P′ 33 4 ， 1 - 0 ， ∴ 满足条件的点 P 坐标为 15 4 ， 1 - 0 或 33 4 ， 1 - 0 . ② 如图 2 中， 当 OP=OB=10 时， 作 PQ∥OB 交 CD 于点 Q. ∵ 直线 OB 的解析式为 y= 4 3 x ， ∴ 直线 PQ 的解析式为 y= 4 3 x+ 40 3 ， 由 y= 4 3 x+ 40 3 ， y=- 1 2 x+6 6 , , , + , , , - ， 解得 x=-4 ， y=8 4 ， ∴Q （ -4 ， 8 ）， ∴PQ= 6 2 +8 2 姨 =10 ， ∴PQ=OB. ∵PQ∥OB ， ∴ 四边形 OBQP 是平行四边形 . ∵OB=OP. ∴ 四边形 OBQP 是菱形， 此时点 M 与点 Q 重合， 满足条件， t=0. 如图 3 中， 当 OQ=OB 时， 设 Q m ， - 1 2 m+ + - 6 ， 则有 m 2 + - 1 2 m+ + - 6 2 =10 2 ， 解得 m= 12±4 89 姨 5 ， ∴ 点 Q 的横坐标为 12+4 89 姨 5 或 12-4 89 姨 5 ， 设点 M 的横坐标为 a ， 则有 a+0 2 = 12+4 89 姨 5 +6 2 或 a+0 2 = 12-4 89 姨 5 +6 2 ， ∴a= 42+4 89 姨 5 或 42-4 89 姨 5 ， ∴ 满足条件的 t 的值为 92+4 89 姨 5 或 92-4 89 姨 5 . 如图 4 中， 当点 Q 与点 C 重合时， M 点的横坐标为 6 ， 此时 t=16 ， 综上所述， 满足条件的 t 的值为 0 或 16 或 92+4 89 姨 5 或 92-4 89 姨 5 . 3. 【解析】 （ 1 ） ∵OA＝2 ， OC＝6 ， ∴A （ -2 ， 0 ）， C （ 0 ， -6 ）， ∵ 抛物线 y＝x 2 +bx+c 过点 A ， C ， ∴ 4-2b+c=0 ， 0+0+c=-6 4 ， 解得 b=-1 ， c=-6 4 ， ∴ 抛物线的解析式为 y＝x 2 -x-6. （ 2 ） ∵ 当 y＝0 时， x 2 -x-6＝0 ， 解得 x 1 ＝-2 ， x 2 ＝3. ∴B （ 3 ， 0 ）， 抛物线的对称轴为直线 x＝ -2+3