4.3 函数最值问题-2020中考数学【中考夺标】全国各省市中考试题分类

Z H O N G K A O D U O B I A O 标 夺 考 中 中 考 数 学 试 题 分 类 10. 【解析】 （ 1 ） ∵ 抛物线 y=-x 2 +bx+c 的对称轴是直线 x=1 ， ∴- b 2× （ -1 ） =1 ， 解得 b=2 ， ∵ 抛物线过点 A （ 0 ， 3 ）， ∴c= 3 ， ∴ 抛物线的解析式为 y=-x 2 +2x+3 ， 令 y=0 可得 -x 2 +2x+3 =0 ， 解得 x=-1 或 x=3 ， ∴B 点坐标为 （ 3 ， 0 ） . （ 2 ） ① 由题意可知 ON=3t ， OM=2t ， ∵P 在抛物线上 ， ∴P （ 2t ， -4t 2 +4t+3 ） . ∵ 四边形 OMPN 为矩形 ， ∴ON=PM ， ∴3t= -4t 2 +4t+3 ， 解得 t=1 或 t=- 3 4 （舍去）， ∴ 当 t 的值为 1 时， 四边形 OMPN 为矩形； ②∵A （ 0 ， 3 ）， B （ 3 ， 0 ）， ∴OA=OB=3 ， 且 可求得直线 AB 的解析式为 y=-x+3 ， ∴ 当 t＞0 时， OQ≠OB ， ∴ 当 △BOQ 为等腰三角形时， 有 OB=QB 或 OQ=BQ 两种情况， 由题意可知 OM=2t ， ∴Q （ 2t ， -2t+3 ）， BQ= （ 2t-3 ） 2 + （ -2t+3 ） 2 姨 = 2 姨 |2t-3| ， 又由题意可知 0＜t＜1 ， 当 OB=QB 时， 则有 2 姨 | 2t-3|=3 ， 解得 t= 6+3 2 姨 4 （舍去） 或 t= 6-3 2 姨 4 ； 当 OQ=BQ 时， 则有 M 为 OB 中点， ∴2t= 3 2 ， ∴t= 3 4 . 综上可知当 t 的值 为 6-3 2 姨 4 或 3 4 时， △BOQ 为等腰三角形 . 三、 函数最值问题 1. （ 1 ） 抛物线与 x 轴交于点 A （ -2 ， 0 ） 和 B （ 1 ， 0 ）， ∴ 交点式为 y＝- （ x+2 ）（ x-1 ） ＝- （ x 2 +x-2 ）， ∴ 抛物线的表达式为 y＝-x 2 -x+2. （ 2 ） 在射线 AD 上存在一点 H ， 使 △CHB 的周长最小 . 如图 1 ， 延长 CA 到 C′ ， 使 AC′＝AC ， 连接 BC′ ， BC′ 与 AD 交点即为满足条件的点 H ， ∵x＝0 时， y＝-x 2 -x+2＝2 ， ∴C （ 0 ， 2 ）， ∴OA＝OC＝2 ， ∴∠CAO＝45° ， 直线 AC 的解析式为 y＝x+2 ， ∵ 射线 AC 绕点 A 顺时针旋转 90° 得射线 AD ， ∴∠CAD＝90° ， ∴∠OAD＝∠CAD-∠CAO＝45° ， ∴ 直线 AD 的解析式为 y＝-x-2 ， ∵AC′＝AC ， AD⊥CC′ ， ∴C′ （ -4 ， -2 ）， AD 垂直平分 CC′ ， ∴CH＝C′H ， ∴ 当 C′ ， H ， B 在同一直线上时， C △CHB ＝CH+BH+BC＝C′H+BH+BC＝BC′+BC 最小， 设直线 BC′ 解析式为 y＝kx+a ， ∴ -4k+a=-2 ， k+a=0 0 ， 解得 k= 2 5 ， a=- 2 5 5 ) ) ) ( ) ) ) * ， ∴ 直线 BC′ ： y＝ 2 5 x- 2 5 ， ∵ y= 2 5 x- 2 5 ， y=-x-2 2 ， 解得 x=- 8 7 ， y=- 6 7 7 ) ) ) ( ) ) ) * ， ∴ 点 H 坐标为 - 8 7 ， - 6 7 7 . . （ 3 ） ∵y＝-x 2 -x+2＝- x+ 1 2 7 . 2 + 9 4 ， ∴ 抛物线顶点 Q - 1 2 ， 9 4 7 . . ① 当 -2＜t≤- 1 2 时， 如图 2 ， 直线 l 与线段 AQ 相交于点 F 设直线 AQ 的解析式为 y＝mx+n ， ∴ -2m+n=0 ， - 1 2 m+n= 9 4 2 ， 解得 m= 3 2 ， n=3 2 ， ∴ 直线 AQ ： y＝ 3 2 x+3 ， ∵ 点 P 的横坐标为 t ， PF⊥x 轴于点 E ， ∴E （ t ， 0 ）， F t ， 3 2 t+ 7 . 3 ， ∴AE＝t- （ -2 ） ＝t+2 ， FE＝ 3 2 t+3 ， ∴S＝S △AEF ＝ 1 2 AE · EF＝ 1 2 （ t+2 ） 3 2 t+ 7 . 3 ＝ 3 4 t 2 +3t+3 ； ② 当 - 1 2 ＜t≤0 时， 如图 3 ， 直线 l 与线段 QC 相交于点 G ， 过点 Q 作 QM⊥x 轴于 M ， ∴AM＝- 1 2 - （ -2 ） ＝ 3 2 ， QM＝ 9 4