4.4 几何证明问题-2020中考数学【中考夺标】全国各省市中考试题分类

Z H O N G K A O D U O B I A O 中 考 数 学 试 题 分 类 2 0 0 2 （ 3 ） 过点 P 作 PH∥y 轴交直线 BC 于点 H ， 设 P t ， - 1 2 t 2 + 3 2 t+ + # 2 ， 由 B ， C 两点的坐标可求得直线 BC 的解析式为 y= - 1 2 x +2 ， ∴H t ， - 1 2 t+ + + 2 ， ∴PH =y P -y H =- 1 2 t 2 + 3 2 t +2 - - 1 2 t+ + + 2 =- 1 2 t 2 +2t ， 设 直 线 AP 的 解 析 式 为 y =px +q ， ∴ - 1 2 t 2 + 3 2 t+2=tp+q ， 0=-p+q q ， 解得 p=- 1 2 t+2 ， q=- 1 2 t+2 2 ) ) ) ( ) ) ) * ， ∴ 直线 AP 的解析式为 y= - 1 2 t+ + + 2 （ x+1 ）， 令 x=0 可得 y=2- 1 2 t ， ∴F 0 ， 2- 1 2 + + t ， ∴CF=2- 2- 1 2 + + t = 1 2 t ， 联立直线 AP 和直线 BC 的解析式可得 y= 2- 1 2 + + t （ x+1 ）， y= 1 2 x+2 2 ) ) ) ( ) ) ) * ， 解得 x= t 5-t ， 即 E 点的横坐标为 t 5-t ， ∴S 1 = 1 2 PH （ x B -x E ） = 1 2 - 1 2 t 2 +2 + + t 4- t 5-t + + ， S 2 = 1 2 · t 2 · t 5-t ， ∴S 1 -S 2 = 1 2 - 1 2 t 2 +2 + + t 4- t 5-t + + - 1 2 · t 2 · t 5-t =- 5 4 t 2 +4t=- 5 4 t- 8 5 + + 2 + 16 5 ， ∴ 当 t= 8 5 时， S 1 -S 2 有最大值， 最大值为 16 5 . 四、 几何证明问题 1. 【解析】 （ 1 ） 证明： ①∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=BC ， ∠ABC=∠BCF=90° ， ∴∠ABG+∠CBF=90° ， ∵∠AGB= 90° ， ∴∠ABG+∠BAG=90° ， ∴∠BAG=∠CBF ， ∵AB=BC ， ∠ABE=∠BCF=90° ， ∴△ABE≌△BCF （ ASA ）， ∴BE=CF ； ②∵∠AGB=90° ， 点 M 为 AB 的中点， ∴MG=MA=MB ， ∴∠GAM=∠AGM ， 又 ∵∠CGE=∠AGM ， ∠GAM=∠CBG ， ∴∠CGE=∠CBG ， 又 ∠ECG=∠GCB ， ∴△CGE∽△CBG ， ∴ CE CG = CG CB ， 即 CG 2 =BC · CE ， 由 ∠CFG=∠GBM=∠BGM=∠CGF 得 CF=CG ， 由 ① 知 BE=CF ， ∴BE=CG ， ∴BE 2 =BC · CE. （ 2 ） 延长 AE ， DC 交于点 N ， ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴AB∥CD ， ∴∠N=∠EAB ， 又 ∵∠CEN=∠BEA ， ∴△CEN∽△BEA ， ∴ CE BE = CN BA ， 即 BE · CN=AB · CE ， ∵AB=BC ， BE 2 =BC · CE ， ∴CN=BE ， ∵AB∥DN ， ∴ CN AM = CG GM = CF BM ， ∵AM=MB ， ∴FC=CN=BE ， 不妨设正方形的边长为 1 ， BE=x ， 由 BE 2 =BC · CE 可得 x 2 =1 ·（ 1-x ）， 解得 x 1 = 5 姨 -1 2 ， x 2 = - 5 姨 -1 2 （舍）， ∴ BE BC = 5 姨 -1 2 ， 则 tan∠CBF= FC BC = BE BC = 5 姨 -1 2 . 2. 【解析】 线段 DN ， MB ， EC 之间的数量关系为 DN+MB＝EC. 理由如下： ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABE＝∠BCD＝90° ， AB＝BC＝CD ， AB∥CD ， 过点 B 作 BF∥MN 分别交 AE ， CD 于点 G ， F ， 如图 1 所示 . ∴ 四边形 MBFN 为平行四边形， ∴NF＝MB ， ∴BF⊥AE ， ∴∠BGE＝90° ， ∴∠CBF+∠AEB＝90° ， ∵∠BAE+∠AEB＝90° ， ∴∠CBF＝∠BAE ， 在 △ABE 和 △BCF 中， ∠BAE=∠CBF ， AB=BC ， ∠ABE=∠BCF=90° q ， ∴△ABE≌△BCF （ ASA ）， ∴BE＝CF ， ∵DN+NF+CF＝BE+EC ， ∴DN+MB＝EC. 问题探