福建省泉州市惠安县2018-2019学年高一下学期学科素养竞赛（期中）数学试题

2019年学科素养竞赛 高 一 年 数 学 试 题 （考试时间：120分钟，满分100分。） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 .已知，若，则（　　） A． B． C． D． ( 图２ )2.等差数列中，若，则的值是（　　） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 3.如图2，已知E、F分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，设为二面角的平面角，则＝（ ） A. B. C. D. 4.设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1] B．[1，4] C．[4，＋∞) D．(－∞，1]∪[4，＋∞) 5.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（，，，），则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道…，若令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得的近似分数为（ ） A. B. C. D. 6.已知偶函数满足，且当时，，则关于的方程 在上根的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D． 7.将函数图象向左平移个单位后，得到函数的图象关于点对称，则函数在上的最小值是　　 A. B. C. D. 8.如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O.记I1＝·，I2＝·，I3＝·，则(　　) A．I1<I2<I3 B．I1<I3<I2 C．I3<I1<I2 D．I2<I1<I3 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 9.代数式的最小值为 _____________ 10.在中，若tanAtanB=tanAtanC+tanCtanB，则 = 11.若，则的最小值为 ． 12.方程的所有正整数解 三、解答题：共6题，共52分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 13.(本题8分）设,其中 (I)若且,求; (II)若,是否存在整数,使得方程有且仅有两个不相等的实数根?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 14.(本题8分）某种商品在近30天内每件的销售价格P（元）与时间 t (天)的的函数关系近似满足.商品的日销售量Q(件)与时间t (天)的函数关系式近似的满足Q(t)=―t+40 (1≤t≤30,t∈N),求:这种商品日销售量金额的最大值,并指出日销售量金额最大的一天是30天中的第几天? 15.(本题9分）已知数列的前项和满足，. （1）求数列的通项公式； （2）在数列的前100项中，是否存在两项，（，且），使得，，三项成等比数列？若存在，求出所有的，的取值；若不存在，请说明理由. . 16.(本题9分）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A­BCF，其中BC＝. (1)求证：DE∥平面BCF； (2)求证：CF⊥平面ABF； (3)当AD＝时，求三棱锥F­DEG的体积． 17.(本题9分）定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界．已知函数，． （1）若函数为奇函数，求实数的值； （2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合； （3）若函数在上是以5为上界的有界函数，求实数的取值范围． 18.(本题9分）已知点G(5,4)，圆C1：(x－1)2＋(y－4)2＝25，过点G的动直线l与圆C1相交于E，F两点，线段EF的中点为C，且C在圆C2上． (1)若直线mx＋ny－1＝0(mn>0)经过点G，求mn的最大值； (2)求圆C2的方程； (3)若过点A(1,0)的直线l1与圆C2相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M.l1与l2：x＋2y＋2＝0的交点为N，求证：|AM|·|AN|为定值． 2019年学科素养竞赛 高一数学参考答案 1、D 2、C 3、B 4、D 5、A 6、B 7、D 8、C 9、13 10、 3 11、 12、或(2,5,10) 13、解:(I)可得 由=1,得 又,得,有=,解得. (II)由,有,