专题01 函数的对称性-2020年江苏高考数学压轴题突破（填空题）

专题01 函数的对称性 【方法点拨】 1.已知给出了函数的解析式，所求是最大值与最小值和，当运用传统方法（求导、单调性、极值定理等）较难求得，往往使用奇函数在对称区间上的最大值与最小值（若存在）的和为0，从已知函数中“分离出”一个奇函数与一个常数C的和，故所求函数可视为该奇函数经上下平移而得到，故所求为2C. 2.善于发现函数的对称性（中心对称、轴对称），有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化. 3.若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍，为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍．(注：如果遇到抽象函数给出类似性质，可以联想y＝sinx，y＝cosx的对称轴、对称中心和周期之间的关系) 【典型题示例】 例1（2020·扬州中学五月考·13）圆与曲线相交于点四点，为坐标原点，则_______. 【答案】 【分析】注意发现圆与一次分式函数的图象均关于点(−3, 2)对称，利用三角形中线的向量表示，将所求转化即可. 【解析】由圆方程，可得，圆心坐标为(−3, 2) ，其对称中心为(−3, 2). 在同一直角坐标系中，画出圆和函数图像如右图所示： 数形结合可知，圆和函数都关于点M(−3, 2)对称， 故可得其交点A和C，B和 D 都关于点M(−3, 2)对称. 故， 所以. 例2 已知函数．若…，则满足的的值为 ． 【答案】337 【解析】注意到：，，又因为： ，， 因此，＝0 所以，函数关于点对称，所以，，解得：， ＝2019， 显然有：，即 所以，＝2019， ＝1，解得：x＝337 例3 设函数的最大值为，最小值为，则 = . 【答案】2 【解析】将函数解析式适当变形，遇分式想部分分式，整化零，，设，显然为奇函数，由题意知其最大值、最小值一定存在，根据函数图象的对称性，最大值与最小值互为相反数，其和为0，所以，本题应填2. 【点评】本题欲求最大值与最小值的和，上述解法没有运用常规的求最值的基本工具，如：求导、基本不等式、单调性、反解等，而是充分利用函数的性质——奇偶性，舍弃解析式其外在的“形”转而研究函数的“性”，这种策略和方法在解题中经常涉及.由于考生受定势思维的影响，此类题目多为考生所畏惧. 例4 函数f(x)＝(x－1)sinπx