第23题-冲刺2020年中考数学挑战压轴题（陕西专用）

冲刺2020年中考数学挑战压轴题(陕西专用) 第23题 圆的综合题是陕西省中考试卷中必考内容之一，是第23题，分值为8分。 涉及内容有：①全等三角形②相似三角形③锐角三角函数等。 设问形式有：①证明角或线段相等 ②切线的判定 ③计算线段长、线段比例关系 ④求锐角三角函数值等 注意事项：在这部分知识中，应重视逻辑思维能力的培养和书写的规范性 一：解决圆的综合题需要掌握常用的知识点 1.圆周角定理及其推理 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半 推理：①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等 ②半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 的圆周角所对的弦是直径 2.垂径定理 定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 3.切线性质及判定 性质：圆的切线垂直于过切点的半径 判定：过半径外端并且垂直于半径的直线是圆的切线 二：常用方法如下： 1.解决有关切线问题的基本思路：抓“相切”，连接圆心和切点。 2.证明切线的方法 （1）若已知直线与圆的公共点，则连接圆心与公共点，证出所连半径垂直于已知直线即可；即“连交点，证垂直” 证明垂直常用方法（必须往题目中已给出的直角或垂直上联系） ①利用三角形全等 ②利用平行线的性质 ③利用两角之和等于 （2）若未给出直线与圆的公共点，则过圆心作已知直线的垂线，证出所作垂线段的长度与圆的半径相等即可；即“作垂直，证相等” 三：证明两角相等的方法 （1）在两个直角三角形中通过同角或等角的余角相等来证明 (2)利用半径相等，转化到等腰三角形中利用等边对等角来证明 四：证明两线段相等的方法 (1)若所证两线段相连不共线，则可以考虑将两条线段放到一个三角形中，利用等腰或等边三角形等角对等边来证明。 （2）若所证两线段相连共线，则可以考虑将等腰三角形三线合一或直角三角形斜边上的直线等于斜边的一半来证明。 （3）若所证两线段平行，则可以考虑特殊的四边形对边相等来证明 五：解题小技巧 （1）若第（2）中所求的是线段的比，则考虑用相似或锐角三角函数来求解 （2）若题目中有特殊角度(例如 等角度)或出现三角函数sin，cos，tan等时，一般考虑用三角函数来解题 （3）当求线段长时，我们常用的解题办法是利用勾股定理和相似计算来解决 （4）运用切线的性质进行证明或计算时，常做的辅助线有连接圆心和切点，构造直径所对的圆周角，然后利用垂直构造直角三角形解决问题 （5）在根据切线的性质解决线段长，周长，面积问题时，求线段的长度，一般是找到直角三角形，根据直角三角形的三角函数或利用勾股定理使问题得以解决，有时也根据圆中相等的角，得到相似三角形，根据相似三角形对应边成比例建立等式来解决问题 下面我们就对中考中常考的热门类型的习题来进行探讨 1.如图，在△ABC 中，以AB为直径作⊙O交BC于点D，∠DAC=∠B ． (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)点E是AB上一点，若∠BCE=∠B ，tan∠B= ，⊙O的半径是4，求EC的长． 2.如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D在BC上，BD=DC ，过点D作DE⊥AC ，垂足为E，⊙O 经过A，B，D三点且与AC的另一个交点为F (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)AB=12 ，∠BAC=60° ，求线段DE，EF与弧DF所围成的阴影部分的面积． 3.如图，△ABC 的边AB为⊙O的直径，BC与圆交于点D，D为BC的中点，过D作DE⊥AC 于E． (1)求证：DE为⊙O的切线； (2)若AB=13，CD=5 ，求CE的长． 4.如图，以△ABC 的边AB为直径的⊙O交AC于点D，在AC上截取AE=AB= √，连接BE，交⊙O于点F，且∠BAC=2∠CBE ． (1)求证：直线BC是⊙O的切线； (2)若tan∠CBE= ,求BE的长； (3)在(2)条件下，求DE的长． 5.如图，在RtΔABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E ． (1) 求证：AC是⊙O的切线； (2)若OB=10，CD=8，求CE的长． 6.如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径做圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO 交BO的延长线于点D，且∠AOD=∠BAD ． (1)求证：AB为⊙O的切线； (2)若BC=6，tan∠ABC= ，求AD的长． 7.如图，△ABD内接于⊙O，弦AB不经过圆心O，弦DC//AB ，延长AB至E， 使BE=AB，连接EC，F是EC的中点