北师大版高中数学选修2-2第三章1.1《利用导数讨论含参函数的单调性》教学设计

《利用导数讨论含参函数的单调性》教学设计 1、 知识回顾 1.函数的单调性与导数正负的关系 一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导, f ′(x)>0⇒ f(x)在(a,b)内单调递增 f ′(x)<0⇒ f(x)在(a,b)内单调递减 2.用导数求函数单调区间的步骤 （1）确定函数f(x)的定义域； （2）求导数f ′(x)； （3）解不等式f ′(x)>0，解集在定义域内部分为增区间； （4）解不等式f ′(x)<0，解集在定义域内部分为增区间. 3.用导数讨论含参函数单调性策略 分类讨论、数形结合、找临界点 2、 典例精讲 【题型一】导数正负取决于一次函数 例1 讨论f(x)=x+alnx (a∈R)的单调性,求其单调区间. 解：f (x)定义域为 (0,+∞)， f ′(x)1+ (x0)， 1.当a≥0时，f ′(x)>0恒成立,函数f(x)单调递增, 即f (x)的增区间为(0,+∞),f (x)无减区间； 2.当a0时，解不等式f ′(x)>0(x0)得xa;解不等式f ′(x)<0得0<xa, 此时f (x)在(a,+∞)上单调递增,在(0，a)上单调递减， 即f (x)的增区间为(a,+∞),减区间为(0，a). 变式：讨论f(x)=ax+lnx (a∈R)的单调性. 解：f (x)定义域为 (0,+∞)，f ′(x)+ (x0)， 1.当a≥0时，f ′(x)>0恒成立,函数f(x)单调递增,即f (x)的增区间为(0,+∞),f (x)无减区间； 2.当a0时，由f ′(x)=0得， 当x∈ (, )时，f ′(x)>0，f (x)单调递增, 当x∈ (, +∞)时，f ′(x)<0，f (x)单调递减, 即f (x)的增区间为(, ),减区间为(, +∞). 【结论】导数为一次函数，取值的正负要按斜率的正负进行讨论 f ′(x)=ax+b，讨论 a>0 a=0 a<0 【题型二】导数正负取决于二次函数 ①按判别式讨论 例2 求函数f(x)x3+ax2+x+1 (a∈R)的单调区间. 解：f (x)定义域为 R，f ′(x)x2+x+1， f ′(x)开口向上的二次函数，△=a24， 1.当△≤0，即2≤a≤2时，f ′(x)≥0恒成立, 此时f (x)在R上单调递增,即f (x)的增区间为R,f (x)无减区间； 2.当0，