沪教版高中数学高三一轮复习：对课本一道轨迹问题的探究性学习（详案）

对课本一道轨迹问题的探究性学习（详案） 【设计说明】目前高三数学一轮复习正复习到解析几何，一轮复习需要对考纲要求的知识进行全面系统的复习，这里回归课本很重要。现实的问题是很多学生喜欢做题而不喜欢翻阅课本。本节课通过课本上一道轨迹问题的探究性学习，希望引导学生重视课本。此外，通过对课本上普通问题的探究性学习，培养学生多角度提出问题、分析问题及解决问题的能力，优化学生数学思维品质。 【教学目标】 通过课本一道轨迹问题的探究性学习，学会多角度提出问题的方法，在问题解决的过程中，复习解析几何中相关的基础知识和基本方法，优化数学思维品质。 【教学重难点】 问题提出与解决的过程中优化数学思维品质，复习解析几何相关知识与方法。 【教学过程】 几何画板页面说明： 1平行弦AB中点的轨迹动画演示（例题） 2平行弦AB的三等分点的轨迹动画演示（问题2.1） 3三角形OAB面积的最值动画演示（问题1.2） 4旋转弦AB的中点的轨迹动画演示（问题2.2） 5椭圆上是否存在两点关于直线对称（问题1.4） 例题：（课本P50例5）求椭圆中斜率为的平行弦的中点轨迹方程。 设计说明：作业展示——师生合作评价——几何画板动画演示 解法1：（课本解法）设平行弦AB所在直线的方程为，于是点A、B的坐标 为方程组的实数解。消去得，当即时，方程有两个不同的实数根，即弦AB存在。设弦AB的中点M的坐标为， 即 ，且 从而弦AB的中点M的轨迹方程为 。 解法2：设平行弦与椭圆交于，线段AB的中点坐标为，则，两式相减得 ∵，∴，将代入上式，得（1） 将（1）与椭圆方程联立，利用，同样可得 所求轨迹为直线（1）在椭圆的内部。 解法3：（伸缩变换）设，则，即动点在单位圆上。斜率为1的平行弦即通过变换后即斜率为2的平行弦，于是在伸缩变换下原问题即：单位圆中斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程。根据圆的性质易知轨迹方程为， 从而原问题中的轨迹方程为（在椭圆内部分） 注：作业展示环节，让学生本人及其他人指出解答中需要完善的地方。 归纳如下： ①设点的不规范（一般动点的坐标设为）； ②将直线方程与椭圆方程联立后有两个解，即不写或忽略； ③所求方程在表示曲线一部分时，没有说明，如本例两种写法“”、“在椭圆的内部”都可以。 思考：通过对例题条件与结论的更改，能否提出一些有价值的问题？ 说明：原例题中的条件“椭圆