福建省2020届福州市高三毕业班第三次质量检查数学（文科）试卷（解析版）

2020年福州市高中毕业班第三次质量检测 数学（文科）参考答案及评分细则 评分说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 1．D 2．A 3．B 4．C 5．B 6．D 7．A 8．C 9．C 10．A 11．C 12．D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分． 13． 14． 15． 16． 5 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．【命题意图】本小题以解三角形为载体，考查正弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性． 【解析】解法一：（1）因为且， 所以， 1分 根据正弦定理，得， 3分 因为，所以，所以， 4分 因为，所以． 5分 （2）由（1）知，， 因为，， 所以的面积， 7分 因为是上的点，平分， 所以， 9分 因为， 10分 所以． 12分 解法二：（1）根据正弦定理，得，及得， 所以， 2分 又因为，所以， 3分 所以， 4分 因为，所以． 5分 （2）由（1）知，， 因为，， 所以的面积， 7分 因为是上的点，平分， 所以的面积， 8分 所以的面积， 9分 因为， 10分 所以， 所以． 11分 所以． 12分 18．【命题意图】本小题以“治疗失眠症的药”为载体设计试题，主要考查茎叶图、样本的数字特征、独立性检验等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查统计与概率思想，考查数学抽象、数据分析、数学运算等核心素养，体现基础性与应用性． 【解析】(1)（以下理由任说一种都可得4分） ①从以上茎叶图可以看出，药疗效的试验结果有的叶集中在茎和上， 而药疗效的试验结果有的叶集中在茎和上，由此可看出药的疗效更好． ②从茎叶图的分布情况可以看出，服用药的患者日平均增加睡眠时间的平均数大于，而服用药的患者日平均增加睡眠时间的平均数小于，因此可知药的疗效更好． ③由茎叶图可知，服用药的患者日平均增加睡眠时间的中位数是，而服用药的患者日平均增加睡眠时间的中位数是，因此药的疗效更好． ④由茎叶图可知，服用药的患者日平均增加睡眠时间分布在茎上的最多，关于茎 大致呈对称分布；而服用药的患者日平均增加睡眠时间分布在茎上的最多，关于茎大致呈对称分布；又患者在服用两种药后日平均增加睡眠时间分布的区间相同，故可以认为服用药的患者日平均增加睡眠时间比服用药的患者日平均增加睡眠时间更多，因此药的疗效更好． 4分 （2）由茎叶图可知，组数据的中位数为， 6分 因此列联表如下： 超过 不超过 服用药 服用药 8分 （3）由于， 11分 所以有的把握认为两种药的疗效有差异． 12分 19．【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查线面平行、线面垂直的判定与性质、空间几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性． 【解析】解法一：（1）如图，作交的延长线于， 因为平面平面， 平面平面， 且平面， 所以平面， 2分 所以为点到平面的距离． 3分 因为，，所以， 4分 又， 5分 所以． 6分 （2）假设棱上存在点，使得．连接，取的中点， 在△中， 因为分别为的中点， 所以． 8分 因为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行， 所以与重合． 因为点在线段上，所以， 又， 所以是与的交点，即就是， 而与相交， 10分 这与相矛盾， 11分 所以假设不成立， 故棱上不存在点使得． 12分 解法二：（1）因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 2分 依题意，， 所以． 3分 在梯形中，由知， 4分 所以， 5分 所以． 6分 （2）假设棱上存在点，使得， 显然与点不同， 所以四点共面，记该平面为， ………………8分 所以，，， 又，， 所以，， 所以共面于， 10分 这与为四棱锥相矛盾， 11分 所以假设不成立， 故棱上不存在点使得． 12分 20．【命题意图】本小题以抛物线为载体考查抛物线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、直观