福建省2020届福州市高三毕业班第三次质量检查数学（理科）试卷（解析版）

2020年福州市高中毕业班质量检测 数学（理科）参考答案及评分细则 评分说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 1．A 2．D 3．C 4．A 5．B 6．D 7．A 8．A 9．D 10．C 11．B 12．C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13． 14． 15． 16． 三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．【命题意图】本小题考查等差数列、等比数列等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归转化思想；考查数学运算、逻辑推理等学科素养；体现基础性．满分12分． 【解答】（1）由，得， 又，，解得. 1分 因为数列为等差数列，所以该数列的公差为2， 2分 所以． 4分 （2）当时，， 因为，所以，即， 5分 同理可得：． 6分 则，所以（）， 7分 又， 所以， 所以（）， 8分 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列. 9分 因为，所以（）， 10分 又，所以（）， 11分 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 12分 18．【命题意图】本小题考查直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质，二面角等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性．满分12分． 【解析】解法一：（1）因为，平面平面， 平面平面，平面， 所以平面. 1分 作交于，则三条直线两两垂直．以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 2分 因为，，． 所以， 3分 设平面的法向量为，因为， 所以所以令，所以， 4分 由轴平面知为平面的一个法向量, 5分 所以， 6分 所以与平面所成二面角的正弦值为． 7分 （2）因为是棱的中点，由（1）可得. 假设棱上存在点，使得， 8分 设，， 所以， 9分 因为，所以， 10分 所以这个方程组无解， 11分 所以假设不成立，所以对于棱上任意一点，与都不平行. 12分 解法二：（1）如图，在平面内，过点作的垂线，垂足为；在平面内，过作的垂线，交的延长线于点．连接． 因为，所以平面． 1分 因为，平面，平面， 所以平面， 2分 设平面平面，则，故平面． 3分 所以为平面与平面所成二面角的平面角． 4分 因为，，所以， 在中，． 5分 又，所以在中，． 6分 所以， 所以与平面所成二面角的正弦值为． 7分 （2）假设棱上存在点，使得，显然与点不同， 8分 所以四点共面，记该平面为，所以，，， 9分 又，，所以，， 所以就是点确定的平面， 10分 这与为四棱锥相矛盾，所以假设不成立， 所以对于棱上任意一点，与都不平行. 12分 解法三：（1）同解法一． 7分 （2）假设棱上存在点，使得． 8分 连接，取的中点， 在△中，因为分别为的中点， 所以. 9分 因为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，所以与重合. 10分 又点在线段上，所以，又， 所以是与的交点，即就是， 11分 而与相交，所以与相矛盾，所以假设不成立， 所以对于棱上任意一点，与都不平行． 12分 19．【命题意图】本题考查抛物线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合思想、函数与方程思想；考查直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性．满分12分． 【解析】解法一：（1）设， 由，消去得，， 1分 且. 2分 所以 因为为的中点， 所以的坐标为，即, 3分 又因为，所以, 5分 （当且仅当，即等号成立.） 所以的斜率的最大值为． 6分 （2）由（1）知， ， 8分 由得， 9分 因为为等边三角形，所以， 10分 所以， 所以，所以，解得 又，所以， 11分 则，直线的方程为，即， 所以时，， 所以所求的点的坐标为． 12分 解法二：（1）设， 因为为的中点，且直线， 所以 1分 由得 所以所以即. 2分 所以即， 3分 又因为，所以, 5分 （当且仅当，即等号成立.） 所以的斜率的最大值为． 6分 （2）由，消去得， 所以且. 7分 ， 8分 由（1）知，的中点的坐标为， 所以线段的垂直平分线方程为：. 令，得线段的垂直平分线与直线交点坐标为 所以． 9分 因