专题12 三角函数图象与性质-名师揭秘2020年高考数学冲刺（文）

专题12 三角函数图象与性质 [高考定位] 高考对本讲内容主要考查三角函数的定义、图象与性质；重点考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等；常与三角恒等变换交汇命题，题目难度为中等偏下． 考点一　三角函数的定义、诱导公式及基本关系 [核心提炼] 1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. 3．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限” [规律方法] 　应用三角函数的概念和诱导公式的注意事项 (1)当角的终边所在位置不唯一确定的时候，要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就可能出现错误． (2)应用诱导公式与同角关系进行开方运算时，一定要注意三角函数的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等． 考点二　三角函数的图象与解析式 [核心提炼] 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象 (1)“五点法”作图： 设z＝ωx＋φ，令z＝0，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．，π， [规律方法]解决三角函数图象问题的方法及注意事项 (1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；常根据“五点法”中的5个点确定φ，通常把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． (2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． 考点三　三角函数的性质 [核心提炼] 　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质 (1)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数：φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数． (2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为T＝. (3)单调性：根据y＝sin t和t＝ωx＋φ(ω＞0)的单调性来研究，由－＋2kπ(k∈Z)得单调减区间．＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤ (4)对称性：利用y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)得其对称中心． 利用y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)得其对称轴. (k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋ [规律方法] 　三角函数的单调区间、周期及最值(或值域)的求法 (1)三角函数单调区间的求法： 求形如y＝Asin(ωx＋φ)[或y＝Acos(ωx＋φ)](A，ω，φ为常数，A≠0，ω＞0)的单调区间的一般思路是令ωx＋φ＝z，则y＝Asin z(或y＝Acos z)，然后由复合函数的单调性求得． (2)三角函数周期的求法： 函数y＝Asin(ωx＋φ)[或y＝Acos(ωx＋φ)]的最小正周期T＝..应特别注意y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期为T＝ (3)三角函数最值(或值域)的求法： 在求最值(或值域)时，一般要先确定函数的定义域，然后结合三角函数性质可得函数f(x)的最值. 【题型汇总】 1． 函数图象 二．求周期的方法 三、三角函数中的最值 四．求 的方法 五．三角函数的奇偶性 六．求初相的方法 七．三角函数性质综合 八．分段函数 【方法规律】 一．函数图象 例1．函数 在 的图像大致为（ ） A． B． C． D． 练习1.函数 （ 且 ）的图像是下列图像中的（ ） A． B． C． D． 练习2.函数 （其中 ， ）的部分图象如图所示、将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到 的图象，则下列说法正确的是（ ） A．函数 为奇函数 B．函数 的单调递增区间为 C．函数 为偶函数 D．函数 的图象的对称轴为直线 练习3. 已知函数 的图象与直线 的相邻交点间的距离为 ，若定义 ，则函数 ， 在区间 内的图象是( ) A． B． C． D． 二．求周期的方法 例2.已知函数 ，关于函数 的性质给出下面三个判断： ①函数 是周期函数，最小正周期为 ； ②函数 的值域为 ； ③函数 在区间 上单调递增. 其中判断正确的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 练习1.函数 的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 ，得最小正周期为T＝ ， 故选A． 三、三角函数中的最值 例3. 将函数 的图象向左平移 个单位后得到函数 的图象，若函数 为