专题17 秒杀外接球内切球的解题方法-名师揭秘2020年高考数学冲刺（文）

专题17 秒杀外接球内切球的解题方法 [高考定位]高考对本讲内容主要考查空间几何体的展开图、表面积和体积的计算等．试题的题型主要是选择题和填空题，对表面积与体积也可能在解答题中设置一问，在难度上有所控制，基本上都是中等难度或者较易的试题．空间几何体与球的切、接问题也是高考的重点，难度较大． 与球有关的切、接问题 [核心提炼] 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接，解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．例如：球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径． 1. 球的表面积为S=4πR2 2. 球的体积为V＝πR3 [规律方法] 多面体、旋转体与球接、切问题的求解策略 (1)过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题． (2)利用平面几何知识寻找几何体元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解． (3)若球面上4点P，A，B，C构成的3条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，用4R2＝a2＋b2＋c2求解． 【题型汇总】 一．球的性质应用 二．最值问题 三．球直径灵活应用 四．球与其它几何体的综合 五．球定义的灵活应用 六．多面体放球中的解题策略 七．球的截面问题 八．内切球问题 九．翻折问题与球 【题型解法】 一．球的性质应用 例1．已知三棱锥中，，，三点在以为球心的球面上，若，，且三棱锥的体积为，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 练习1．已知三棱锥的顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此三棱锥的体积为( ) A． B． C． D． 练习2．已知三棱锥P-ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 二．最值问题 例2．在三棱锥中，底面，，是线段上一点，且.三棱锥的各个顶点都在球表面上，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 练习1．已知三棱锥的顶点都在半径为的球面上，，，，则三棱锥体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 练习2．已知的三个顶点落在半径为的球的表面上，三角形有一个角为且其对边长为3，球心到所在的平面的距离恰好等于半径的一半，点为球面上任意一点，则三棱锥的体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 三．球直径灵活应用 例3．已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 四．球与其它几何体的综合 例4．在四面体中，已知，且两两相互垂直，在该四面体表面上与点距离为的点形成一条曲线，则这条曲线的长度是( ) A． B． C． D． 练习1．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ） A． B． C． D． 五．球定义的灵活应用 例5.如图所示，在三棱锥中，，，，点在平面内的投影恰好落在上，且，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 练习1．如图，在底面为矩形的四棱锥中，平面，，分别为棱，上一点，已知，，，且平面，四面体的每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 六．多面体放球中的解题策略 例6．等腰三角形的腰，，将它沿高翻折，使二面角成，此时四面体外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 练习1．已知二面角P﹣AB﹣C的大小为120°，且∠PAB＝∠ABC＝90°，AB＝AP，AB+BC＝6．若点P，A，B，C都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为（ ） A．45π B． C． D． 练习2．在三棱锥中，，，，二面角的余弦值是，若都在同一球面上，则该球的表面积是（ ） A． B． C． D． 练习3.．已知三棱锥中，，，平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 练习4.表面积为的球面上有四点，且是边长为的等边三角形，若平面平面，则三棱锥体积的最大值是__________． 七．球的截面问题 例7．已知三棱锥的所有顶点在球的球面上，平面，是等腰直角三角形，，是的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是______. 练习1．如图，正四面体A﹣