专题19 平行垂直的解题规律-名师揭秘2020年高考数学冲刺（文）

专题19平行垂直的解题规律 [高考定位]高考对本讲内容以选择题、填空题的形式考查时，要求学生能利用平面的基本性质及线线、线面和面面位置关系的判定与性质定理对命题真假进行判断，属基础题；以解答题的形式考查时，多以棱柱、棱锥、棱台或简单组合体为载体对线线、线面与面面平行和垂直的判定与性质进行考查，难度中等． 考点一　空间线面位置关系的判断 [核心提炼] 空间线面位置关系判断的常用方法 (1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理解决． (2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断 [规律方法] 　判断空间线面位置关系应注意的问题 解决空间点、线、面位置关系的判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能引用到立体几何中． [核心提炼] 1．直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. (3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. 2．直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α. (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β. (4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β. [规律方法]　线面平行及线面垂直的证明方法 (1)要证线面平行，主要有两个途径：一是证已知直线与平面内的某直线平行；二是证过已知直线的平面与已知平面平行．在这里，转化思想在平行关系上起着重要的作用，在寻求平行关系时，利用中位线、平行四边形等是非常常见的方法． (2)要证线面垂直，关键是在这个平面内能找出两条相交直线和已知直线垂直，即线线垂直⇒线面垂直．结合图形还要注意一些隐含的垂直关系，如等腰三角形的三线合一、菱形的对角线以及经计算得出的垂直关系等． 考点三　空间几何图形的翻折问题 [核心提炼]　解决与折叠有关的问题的两个关键 (1)要明确折叠前后的变化量和不变量．一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化． (2)在解决问题时，要比较折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形． [规律方法] 立体几何中的翻折问题通常有一定的难度，在解题时，要注意翻折过程中哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化．在本题中，原菱形ABCD的性质(即对角线互相垂直)要充分利用，还要通过计算，借助勾股定理的逆定理证明垂直，这就要求必须弄清翻折前后线段之间的关系，这也是破解此题的关键． 【题型汇总】 一．线面垂直 二．线线垂直 三．线面垂直 四．面面垂直 五．线线平行 六．面面平行 七．平行中探索性问题 八．垂直中的探索 【方法规律示例】 一．线面垂直 例1.如图，四棱锥中，底面是正方形，底面. （1）求证： 平面； （2）若，求点到平面的距离. 练习1．如图，在四棱锥中，∥，侧面为等边三角形，，． （1）证明：平面．（2）求点到底面的距离． 练习2．如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若，，求多面体的体积． 二．线线垂直 例2．在菱形中，，，点E是的中点，将沿直线翻折至，且平面平面. （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）若点F是的中点，求四面体的体积. 练习1. 如图，已知四棱锥，，，，二面角的大小为，连接，点，分别在线段，上． （1）证明：； （2）若三棱锥的体积是四棱锥体积的，求点到平面的距离． 三．线面垂直 例3．如图所示，四棱锥中，，平面，，点在线段上. （Ⅰ）若，求证：平面； （Ⅱ）若为等边三角形，，求四棱锥的体积. 练习1．如图在四棱锥中底面为直角梯形，，，侧面为正三角形且平面底面，，分别为的中点. 练习2．如图，正方体的棱长为，点、为棱、的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 练习3.如图，在四棱锥中，侧棱底面，且底面是边长为1的正方形，侧棱，与相交于点. （1）证明：； （2）求三棱锥的体积. 四．面面垂直 例4．如图，在四棱锥中，平面，，，，，，与平面所成的角为． （1）求证：平面平面； （2）若于，为的中点，求三棱锥的体积． 练习1．如图，在多面体中，底面是正方形，梯形底面，且． （Ⅰ）证明平面平面； （Ⅱ）平面将多面体分成两部分，求两部分的体积比． 练习2．如图，正方体中，，，，分别是，，，的中点． （Ⅰ）求证：，，，四点