专题20 空间距离及体积的解题技巧-名师揭秘2020年高考数学冲刺（文）

专题20空间距离及体积的解题技巧 [高考定位]高考对本讲内容以选择题、填空题的形式考查时，要求学生能利用平面的基本性质及线线、线面和面面位置关系的判定与性质定理对命题真假进行判断，属基础题；以解答题的形式考查时，多以棱柱、棱锥、棱台或简单组合体为载体对线线、线面与面面平行和垂直的判定与性质进行考查，难度中等． 考点一　空间线面位置关系的判断 [核心提炼] 空间线面位置关系判断的常用方法 (1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理解决． (2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断 [规律方法] 　判断空间线面位置关系应注意的问题 解决空间点、线、面位置关系的判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能引用到立体几何中． [核心提炼] 1．直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. (3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. 2．直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α. (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β. (4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β. [规律方法]　线面平行及线面垂直的证明方法 (1)要证线面平行，主要有两个途径：一是证已知直线与平面内的某直线平行；二是证过已知直线的平面与已知平面平行．在这里，转化思想在平行关系上起着重要的作用，在寻求平行关系时，利用中位线、平行四边形等是非常常见的方法． (2)要证线面垂直，关键是在这个平面内能找出两条相交直线和已知直线垂直，即线线垂直⇒线面垂直．结合图形还要注意一些隐含的垂直关系，如等腰三角形的三线合一、菱形的对角线以及经计算得出的垂直关系等． 考点三　空间几何图形的翻折问题 [核心提炼]　解决与折叠有关的问题的两个关键 (1)要明确折叠前后的变化量和不变量．一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化． (2)在解决问题时，要比较折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形． [规律方法] 立体几何中的翻折问题通常有一定的难度，在解题时，要注意翻折过程中哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化．在本题中，原菱形ABCD的性质(即对角线互相垂直)要充分利用，还要通过计算，借助勾股定理的逆定理证明垂直，这就要求必须弄清翻折前后线段之间的关系，这也是破解此题的关键． 一、单选题 1．如图，在直三棱柱中，，，是上一点，且，是的中点，是上一点．当时，平面，则三棱柱外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 2．已知三棱锥的外接球的表面积为，，则三棱锥体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 3．在四面体中，，，，则它的外接球的表面积　 A． B． C． D． 4．已知三棱锥中，，，，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（ ） A． B． C． D． 5．在三棱锥中，平面平面ABC，平面PAB，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 6．已知三棱锥的外接球为球，为球的直径，且，若面面，则三棱锥的体积最大值为( ) A． B． C．1 D．2 7．已知正方体的棱长为1，P是空间中任意一点，下列正确命题的个数是（ ） ①若P为棱中点，则异面直线AP与CD所成角的正切值为； ②若P在线段上运动，则的最小值为； ③若P在半圆弧CD上运动，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为； ④若过点P的平面与正方体每条棱所成角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、多选题 8．正方体的棱长为2,分别为的中点,则（ ） A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点与点到平面的距离相等 9．在棱长为1的正方体中，点M在棱上，则下列结论正确的是（ ） A．直线与平面平行 B．平面截正方体所得的截面为三角形 C．异面直线与所成的角为 D．的最小值为 10．在正方体中，如图，分别是正方形，的中心.则下列结论正确的是（ ） A．平面与的交点是的中点 B．平面与的交点是的三点分点 C．平面与的交点是的三等分点 D．平面将