1.2 任意角的三角函数（教案）-2020年高中同步教与学数学(人教B版必修4)

高中同步教与学·全新教案(活页) 第一章基本初等函数(Ⅱ) 1.2任意角的三角函数 三角函数的定义(2课时 第1课时三角函数的定义 教学目标》 情感、态度与价值观 通过本节的学习,使同学们对任意角的三角函数的定义有 知识与技能 了一个新的认识;在由锐角的三角函数推广到任意角的三角函 (1)掌握任意角的三角函数的定义 数的过程中,体会特殊与一般的关系,形成一种辩证统一的思想; (2)已知角α终边上一点,会求角a的各三角函数值 使学生认识到事物之间是有联系的,三角函数就是角度(自变量) (3)掌握正弦、余弦、正切函数的定义域 与比值(函数值)的一种联系方式;学习转化的思想,培养学生严 过程与方法 谨治学、一丝不苟的科学精神 初中所学的三角函数,是在直角三角形中给出定义的;由于 我们已将角推广到任意角的情况,而且一般都是把角放在平面 重点◆难点》 直角坐标系中,这样一来,我们就在直角坐标系中来找直角三角重点 形.理解并掌握任意角的三角函数的定义;树立映射观点,正确任意角的三角函数定义 理解三角函数是以实数为自变量的函数;使学生通过任意角三m难点 角函数的定义,认识锐角三角函数是任意角三角函数的一种特 根据定义求三角函数值 例,加深特殊与一般关系的理解 《案例(-)》 教学过程 创设情境,揭示课 函数: 我们学习角的概念的推广和弧度制,就是为了学习三角函 OM sin a 数.请同学们回忆:(1)角的概念的推广及弧度制、象限角等概念; oP".tan a OM (2)初中所学的三角函数是如何定义的?并想一想它有哪些性 思考:上述锐角a的三角函数值可以用终边上一点的坐标表 质?学生思考回答以后,教师小结.(板书课题) 示.那么,角的概念推广以后,我们应该如何对初中的三角函数的 提问:锐角α的正弦、余弦、正切怎样表 定义进行修改,以便推广到任意角呢?本节课就研究这个问 题—任意角的三角函数 借助右图直角三角形,复习回顾 二、探究新知 引人:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值 探究:结合上述锐角a的三角函数值的求法,我们应如何 的函数你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角求解任意角的三角函数值呢? 三角函数吗? 显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点 如图,设锐角a的顶点与原点O重 的距离为1,然后就可以类似锐角a,求得该角的三角函数值了 合,始边与x轴的正半轴重合,那么它 ya的终边所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,以原点O 的终边在第一象限.在a的终边上任取 为圆心,以单位长度为半径的圆 点P(a,b),它与原点的距离r= 2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义? 如教材图1-10,设a是一个任意角,它的终边与单位圆交于 +b2>0.过P作x轴的垂线,垂足 点P(x,y),那么 为M,则线段OM的长度为a,线段MP )y叫做a的正弦(sine),记做sina,即 的长度为b.则sina=oP=r (2)x叫做a的余弦( cosine),记做cosa,即cosa=x; (3)之叫做a的正切( tangent),记做tana,即tana=(x≠0) tan a 思考:对于确定的角a,这三个比值是否会随点P在角a的角a的正潮:seca= 终边上的位置的改变而改变呢? 显然,我们可以将点取在使线段OP的长r=1的特殊位置 角a的余割:csca=1= sIn a 上,这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角 角a的余切:cota tan a y 高中同步教与学·全新教案(活页) 注意:当角α是锐角时,此定义与初中定义相同(指出对边 如例1:设x=2,y=-3,则r (-3)2=√13.于是 邻边,斜边所在);当角α不是锐角时,也能够找出三角函数,因 3√13 为,既然有角,就必然有终边,终边就必然与单位圆有交点P( y),从而就必然能够最终算出三角函数值 3.思考:如果知道角a终边上一点,而这个点不是终边与单 tan a=y= cot a=- 2 位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点P在终边上的位置 sc a- 无关,仅与角a的大小有关我们只需计算点到原点的距离r=5.巩固练习:教材练习A第1,2,3题;练习B第1题 那么sina 6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切 COs C y 函数的定义域填入下表: 所以,三角函数是以角a为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标 定义域 的比值为函数值的函数.又因为角的集合与实数集之间可以建 角函数 角度制 弧度制 立一一对应关系,故三角函数也可以看成以实数为自变量的函 4.例题讲评 COS a 例1已知角a的终边过点P(2,-3),求角a的六个三角函 数值 三、小结 例2求下列各角