第一章 基本初等函数（教案）-2020年高中同步教与学数学(人教B版必修4)

高中同步教与学·全新教案(活页) 第一章基本初等函数(Ⅱ) 单元概括整合 单元复习课 、正弦函数与余弦函数的对称性问题 是2x=kx+,k∈Z.当 时,得对称轴方程为x=-丌, 【例1】求函数y=in(2x-)的对称中心和对称轴方故选B.可用代入法,若代入得y=1或y=-1,则其答案为对称 轴方程 【变式训练2】已知函数y=sin2x+acos2x(a≠0)的图象 答案利用三角函数的图象,把2x-6看成一个变量,用换 元的方法求对称中心或对称轴方程,也可以考虑y=sinx与y 关于直线x==8对称,试求a的值 sin(2x-x)的关系,利用变换的思想求对称轴与对称中心 答案对称性问题可在图象上任取一点进行分析,为了运 算简单,不妨在函数的图象上取点(0,a),则它关于直线x= 方法一:设A=2x-x,则函数y=sinA对称中心为 的对称点为 ,故 xt+a cos 0),即2x kr x=kt+ 6 、三角函数最值问题的解题技巧 对称轴方程为2x-6=2+kx,x=3+2x 【例2】求函数y= sin cos T+sinx+cosx的最大值 答案求sinx、cosx的齐次三角函数最值,可用和差换元 所以y=sin(2x 的对称中心为 120)(k∈Z),|求解 方法一:令sinx=m+n,cosx=m-n,由sin2x+cosx2=1 对称轴为x=x+x(k∈Z 得n2 方法二:由2 知y=si 图象是 于是有y=m2-n2+2m=2(m+2),易见, 由y=sinx图象向右平移了1个单位,所以对称轴与对称中心 当 时,得y 也相应地向右平移卫2个单位,面而y=smx的对称中心(kx,0),对方法二:设smnx+csx=,则1+2 sin.cos.=r, 称轴方程为x=kx十,所以y=sin(2x-)的周期为x,对称即 ln,·cos 中心为(2+),对称轴方程为x=3+智2(∈ +t=(t+1)2 【归纳拓展 当t=2时,y y=sin x, y=cos I,y=Asin(x+p), y= Acos(ax+)Hl kl 象的对称轴是经过其图象的“峰点”或“谷点”且平行于y轴的无【归纳拓展】 穷多条直线 三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用,它 函数y=sinx,x∈R的图象是中心对称图形,并且有无穷多往往与二次函数、三角函数图象、函数的单调性等知识联系在 个对称中心,对称中心是图象与x轴的任一交点,坐标为(kx,0)起,有一定的综合性在求解时,一要注意三角函数式的变形方 向;二要注意正、余弦函数本身的有界性,还要注意灵活选用方 (k∈Z);函数y=csx,x∈R的对称中心坐标为(kx+,0 法 (k∈Z),以上两个函数图象,也是轴对称图形,它们的对称轴分解三角函数最值问题的基本方法:一是应用正弦余弦函数 的有界性来求;二是利用二次函数闭区间内求最大值、最小值的 测是一k红十2(4∈)和x一k(∈)两数y=1mnx的对称方法;此外还可以利用重要不等式成利用数形结合的方法来解 中心坐标为(2,0)(∈D)但它不是轴对称图形 决 【变式训练3】求y=sin2x+ psin .x+q的最大值和最小值 【变式训练1】函数y=cos(2x+2)的图象的一条对称|(其中p、q为常数) 轴方程是 )答案y=sin2x+pinx+q=(sin 4q-p2 D. T=n (1)若-1≤≤1,即-2≤p≤2,则当inx 答案B 点拨已知函数化为y=-sin2x,函数图象的对称轴方程 4P;最大值在simx=1或imx=-1时取得 高中同步教与学·全新教案(活页) (2)若-b<-1,即p>2,则当sinx=-1时,ym=1 8,所以值域为[-1,17 p+q;当sinx=1时,ymax=1+p+q 2)()在区间[,2]上不是单调函数 (3)若-5>1,即p<-2,则当sinx=1时 ∵f(0)=/()=2,且0,∈02 如图①~③所示 ∴f(x)在区间0,,上不是单调函数, 当x∈( ),arcsin4)时,f(x)单调递增:当x∈( arcsin 时,f(x)单调递减 【变式训练6】已知定义在R上的函数y=f(x)满足 【变式训练4】求函数f(x)=1ms的最大值和/①/(x+ 2)=-f(x);②对任意属于 时都有2≥f(x2)>f(x1)≥m成立 最小值 试解答下列各题 答案设sinx+cosx=t,则 sIn.tCos ,∈[-V2,(1)证明:f(x)是周期函数; (2)求m的值 √2]且t≠-1 (3)若f(x满足f(3+x)=-f(3-x),求满足不等式 则 ,t∈[-√2,2 f( 4 sn 4+3)>0的x的集合 解得x=2kx+(k∈Z)时,f(x)的最小值为 答案(1)证明: 当x=2kx-3 π(k∈Z)时,