江西省南昌市第二中学中考数学必考几何模型：中点四大模型

中点四大模型 模型1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形 模型分析 如图①，AD是△ABC的中线，延长AD至点E使DE＝AD，易证：△ADC≌△EDB（SAS）． 如图②，D是BC中点，延长FD至点E使DE＝FD，易证：△FDB≌△EDC（SAS） 　　当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移． 模型实例 如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AF＝EF，求证：AC＝BE． 1．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝20，求BC边上中线AD的范围． 解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△ADC与△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴EB＝AC＝20， 根据三角形的三边关系定理：20－12＜AE＜20＋12， ∴4＜AD＜16， 故AD的取值范围为4＜AD＜16． 2．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DM⊥DN，如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2． 求证：AD2＝ (AB2＋AC2)． 证明：如图，过点B作AC的平行线交ND的延长线于E，连ME． ∵BD＝DC， ∴ED＝DN． 在△BED与△CND中， ∵ ∴△BED≌△CND（SAS）． ∴BE＝NC． ∵∠MDN＝90°， ∴MD为EN的中垂线． ∴EM＝MN． ∴BM2＋BE2＝BM2＋NC2＝MD2＋DN2＝MN2＝EM2， ∴△BEM为直角三角形，∠MBE＝90°． ∴∠ABC＋∠ACB＝∠ABC＋∠EBC＝90°． ∴∠BAC＝90°． ∴AD2＝( BC)2＝ （AB2＋AC2）． 模型2 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”． 模型分析 等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到： “边等、角等、三线合一”． 模型实例 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求MN的长度． 解答： 连接AM． ∵AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC中点， ∴AM⊥BC，BM＝CM＝ BC＝3． ∵AB＝5， ∴AM＝ ． ∵MN⊥AC， ∴S△A