江西省南昌市第二中学中考数学必考几何模型：圆中的辅助线

圆中的辅助线 模型1 连半径构造等腰三角形 已知AB是⊙O的一条弦，连接OA，OB，则∠A＝∠B． 模型分析 在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件．我们通常可以连接半径构造等腰三角形， 利用等腰三角形的性质及圆中的相关定理，解决角度的计算问题 模型实例 如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求∠A． 解答：如图，连接OB，∵AB＝OC，OC＝OB，∴AB＝BO．∴∠BOC＝∠A． ∴∠EBO＝∠BOC＋∠A＝2∠A．而OB＝OE，得∠E＝∠EBO＝2∠A． 1．如图，AB经过⊙O的圆心，点B在⊙O上，若AD＝OB，且∠B＝54°．试求∠A的度数． 解答：如图，连接OC、OD．∵∠B＝54°，OC＝OB，∴∠AOC＝2∠B＝108°． 又∵AD＝OB＝OD，∴∠A＝∠AOD．∵OC＝OD， ∴∠OCA＝∠ODC＝∠A＋∠AOD＝2∠A． ∴∠A＋∠OCA＋∠AOC＝∠A＋2∠A＋108°＝180°． ∴∠A＝24°． 2．如图，AB是⊙O的直径，弦PQ交AB于M，且PM＝MO，求证：则 ＝ EMBED Equation.DSMT4 ． 证明：如图，连接OP、OQ． ∵PM＝OM， ∴∠P＝∠MOP． ∵OP＝OQ， ∴∠P＝∠Q． ∵∠QMO＝2∠MOP， ∴∠BOQ＝3∠MOP． ∴∠AOP＝ ∠BOQ． ∴ ＝ ． 模型2 构造直角三角形 如图①，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o. 如图②，已知AB是⊙O的一条弦，过点O作OE⊥AB，则OE2+AE2=OA2. 模型分析 (1) 如图①,当图形中含有直径时,构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路,在证明有关问题中注意90o的圆周角的构造. (2)如图②，在解决求弦长、弦心距、半径问题时，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形，再利用勾股定理进行计算. 模型实例 例1 已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，BE=6，∠DEB=60o.求CD的长. 解答: 如图,过O作ＯＦ⊥ＣＤ于点Ｆ，连接ＯＤ．∵ＡＢ＝ＡＥ＋ＥＢ，ＡＥ＝２，ＥＢ＝６， ∴ＡＢ＝８．∴ＯＡ＝ ＡＢ＝４．∴ＯＥ＝ＯＡ－ＡＥ＝４－２＝２ 在Ｒｔ△ＯＥＦ中,∠DEB=60º,OE=2,∴EF=1,OF= . 在Rt△OD