江西省南昌市第二中学中考数学必考几何模型：三垂直全等模型

三垂直全等模型 模型 三垂直全等模型 如图：∠D＝∠BCA＝∠E＝90°，BC＝AC. 结论：Rt△BCD≌Rt△CAE. 模型分析 说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图. 三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的. 例1 如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE＝DE，求证：AB＋CD＝BC. 证明：∵AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC， ∴∠AED＝∠B＝∠C＝90°. ∴∠A＋∠AEB＝∠AEB＋∠CED＝90°. ∴∠BAE＝∠CED. 在△ABE和△ECD中， ∴△ABE≌△ECD. ∴AB＝EC，BE＝CD. ∴AB＋CD＝EC＋BE＝BC. 例2 如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2.5cm，BE＝0.8cm，则DE的长为多少？ 解答：∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝90°. ∴∠EBC＋∠BCE＝90°. ∵∠BCE＋∠ACD＝90°， ∴∠EBC＝∠DCA. 在△CEB和△ADC中， ∴△CEB≌△ADC. ∴BE＝DC＝0.8cm，CE＝AD＝2.5cm. ∴DE＝CE－CD＝2.5－0.8＝1.7cm. 例3 如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标. 解答：（1）如图③，过点B作BD⊥x轴于点D. ∴∠BCD＋∠DBC＝90°. 由等腰Rt△ABC可知，BC＝AC，∠ACB＝90°， ∴∠BCD＋∠ACO＝90°. ∴∠DBC＝∠ACO. 在△BCD和△CAO中， ∴△BCD≌△CAO. ∴CD＝OA，BD＝OC. ∵OA＝3，OC＝2. ∴CD＝3，BD＝2. ∴OD＝5. ∴B（－5，2）. （2）如图④，过点A作AD⊥y轴于点D. 在△ACD和△CBO中， ∴△ACD≌△CBO. ∴CD＝OB，AD＝CO. ∵B（－1，0），C（0，3） ∴OB＝1，OC＝3. ∴AD＝3，OD＝2. ∴OD＝5. ∴A（3，2）. 跟踪练习 1．如图，正方形ABCD，BE＝CF.求证：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF. 证明： （1）∵四边形AB