江西省南昌市第二中学中考数学必考几何模型：截长补短辅助线模型

截长补短辅助线模型 模型：截长补短 如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF＝AB＋CD，可以考虑截长补短法. 截长法：如图②，在EF上截取EG＝AB，再证明GF＝CD即可. 补短法：如图③，延长AB至H点，使BH＝CD，再证明AH＝EF即可. 模型分析 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系. 截长，指在长线端中截取一段等于已知的线段；补短，指将一条短线端延长，延长部分等于已知线段. 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程. 模型实例 例1：如图，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2 . 求证：AB＝AC＋CD . 证法一，截长法： 如图①，在AB上取一点E，使AE＝AC，连接DE. ∵AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD， ∴△ACD≌△AED ， ∴CD＝DE，∠C＝∠3 . ∵∠C＝2∠B， ∴∠3＝2∠B＝∠4＋∠B ， ∴∠4＝∠B ， ∴DE＝BE ， ∴CD＝BE. ∵AB＝AE＋BE， ∴AB＝AC＋CD . 证法二，补短法： 如图②，延长AC到点E，使CE＝CD，连接DE . ∵CE＝CD，∴∠4＝∠E . ∵∠3＝∠4＋∠E，∴∠3＝2∠E . ∵∠3＝2∠B，∴∠E＝∠B . ∵∠1＝∠2，AD＝AD， ∴△EAD≌△BAD，∴AE＝AB. 又∵AE＝AC＋CE， ∴∴AB＝AC＋CD . 例2：如图，已知OD平分∠AOB，DC⊥OA于点C，∠A＝∠GBD . 求证：AO＋BO＝2CO . 证明：在线段AO上取一点E，使CE＝AC，连接DE . ∵CD＝CD，DC⊥OA， ∴△ACD≌△ECD， ∴∠A＝∠CED . ∵∠A＝∠GBD ， ∴∠CED＝∠GBD ， ∴1800－∠CED＝1800－∠GBD ， ∴∠OED＝∠OBD . ∵OD平分∠AOB， ∴∠AOD＝∠BOD . ∵OD＝OD， ∴△OED≌△OBD ， ∴OB＝OE， ∴AO＋BO＝AO＋OE＝OE＋2CE＋OE＝OE＋CE＋OE＋CE＝2（CE＋OE）＝2CO . 跟踪练习 1. 如图，在△ABC中，∠BAC＝600，AD是∠BAC的平分线，且AC＝AB＋BD . 求∠ABC的度数 . 【答案】 证法一：补短 延长AB到点E，使BE＝BD . 在△BDE中， ∵BE＝BD，∴∠E＝∠