江西省南昌市第二中学中考数学必考几何模型：辅助圆

第十二章 辅助圆 模型1 共端点，等线段模型 如图①，出现“共端点，等线段”时，可利用圆定义构造辅助圆． 如图②，若OA＝OB＝OC，则A、B、C三点在以O为圆心，OA为半径的圆上． 如图③，常见结论有：∠ACB＝ ∠AOB，∠BAC＝ ∠BOC. 模型分析 ∵OA＝OB＝OC. ∴A、B、C三点到点O的距离相等． ∴A、B、C三点在以O为圆心，OA为半径的圆上． ∵∠ACB是 的圆周角，∠AOB是 的圆心角， ∴∠ACB＝ ∠AOB. 同理可证∠BAC＝ ∠BOC. （1）若有共端点的三条线段，可考虑构造辅助圆． （2）构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题． 模型实例 如图，△ABC和△ACD都是等腰三角形，AB＝AC，AC＝AD，连接BD． 求证：∠1＋∠2＝90°. 证明 证法一：如图①， ∵AB＝AC＝AD．∴B、C、D在以A为圆心，AB为半径的⊙A上．　∴∠ABC＝∠2. 在△BAC中，∵∠BAC＋∠ABC＋∠2＝180°,∴2∠1＋2∠2＝180°.∴∠1＋∠2＝90°. 证法二：如图②， ∵AB＝AC＝AD．∴∠BAC＝2∠1．∵AB＝AC， ∴B、C、D在以A为圆心，AB为半径的⊙O上． 延长BA与圆A相交于E，连接CE． ∴∠E＝∠1．（同弧所对的圆周角相等．） ∵AE＝AC，∴∠E＝∠ACE. ∵BE为⊙A的直径，∴∠BCE＝90°． ∴∠2＋∠ACE＝90°.∴∠1＋∠2＝90°. 小猿热搜 1．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，在△ABC的外侧作直线AP，点B与点 D关于AP轴对称，连接BD、CD，CD与AP交于点E．求证：∠1＝∠2． 证明 ∵A、D关于AP轴对称，∴AP是BD的垂直平分线． ∴AD＝AB，ED＝EB．又∵AB＝AC. ∴C、B、D在以A为圆心，AB为半径的圆上． ∵ED＝EB，∴∠EDB＝∠EBD. ∴∠2＝2∠EDB.又∵∠1＝2∠CDB. ∴∠1＝∠2. 2．己知四边形ABCD，AB∥CD，且AB＝AC＝AD＝a，BC＝b，且2a＞b，求BD的长． 解答 以A为圆心，以a为半径作圆，延长BA交⊙A于E点，连接ED． ∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠DCA，∠DAE＝∠CDA. ∵AC＝AD， ∴∠DCA＝∠CDA. ∴∠DAE＝∠CAB.在△CAB和△