专题03 导数与函数零点（训练篇B）-用思维导图突破导数压轴题

8 思维导图突破导数压轴题 专题3 导数与函数零点 训练篇B （11页） 专题03 导数与函数零点（训练篇B） -用思维导图突破解导数压轴题 《挑战压轴题•高中数学•精讲解读篇》（华东师大出版社第1-10版（2009-2019年））、《上海高考好题赏析》（浙江大学出版社2019年）、330多篇论文（文章）作者 特级教师文卫星 1.（2015年安徽，理15）设，其中均为实数.下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 （写出所有正确条件的编号）. ①;②； ③;④; ⑤． 解：令， 当时，单调递增，符合题意； 当时，，由此可知，在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，极大值为，极小值， 因为三次方程仅有一个实根，所以或，即或． 所以正确条件的编号为 ①③④⑤。 2.（2018年江苏第11题）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为　　． 解1求函数的最值，可以通过求导的方法：。 当时，，在上递增，，则无零点，舍去； 当时，的解为，在递减，在递增，又只有一个零点，则得，所以。 因为，所以在递增，递减，又，所以最大值与最小值的和为. 解2 零点问题可以转化为两个函数交点来解，由于可得，令，则。 由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增，因为有唯一零点，所以，故， 以下同解1. 3.(2018·广安一模)已知函数f(x)＝ln x－x2＋(a－1)x(a∈R)． (1)当a≥0时，求函数f(x)的极值； (2)若函数f(x)有两个相异零点x1，x2，求a的取值范围，并证明x1＋x2＞2. 解 (1)由f(x)＝ln x－x2＋(a－1)x(x＞0)，得f′(x)＝－ax＋a－1＝－.当a≥0时，ax＋1＞0，当0＜x＜1时，f′(x)＞0；当x＞1时，f′(x)＜0，故当a≥0时，函数f(x)在x＝1处取得极大值，且f(1)＝－1，无极小值． (2)证明：当a≥0时，由(1)知f(x)在x＝1处取得极大值，且f(1)＝－1，当x→0时，f(x)→－∞，又f(2)＝ln 2－2＜0，f(x)有两个相异零点，则f(1)＝－1＞0，解得a＞2. 当－1＜a＜0时，若0＜x＜1，则f′(x)＞0；若1＜x＜－，则f′(x)＜0；若x＞－，则f′(x)＞0，则f(x)在