专题04 导数与切线（训练篇B）-用思维导图突破导数压轴题

1 用思维导图突破导数压轴题 专题4 导数与曲线 训练篇B （8页） 专题04 导数与切线（训练篇B） -用思维导图突破解导数压轴题 《挑战压轴题•高中数学•精讲解读篇》（华东师大出版社第1-10版（2009-2019年））、《上海高考好题赏析》（浙江大学出版社2019年）、330多篇论文（文章）作者 特级教师文卫星 1. 设曲线在点处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 . 解 设，由导数的几何意义知，曲线在点处的切线斜率，曲线上点处的切线斜率，因为两切线垂直，所以，即，又，所以，所以. 2．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－ln x相切，则a的值为________． 解 由f(x)＝x3＋ax＋，得f′(x)＝3x2＋a，f′(0)＝a，f(0)＝，∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y－＝ax. 设直线y－＝ax与曲线g(x)＝－ln x相切于点(x0，－ln x0)，g′(x)＝－， ∴ 将②代入①得ln x0＝，∴x0＝e，∴a＝－e. 3. 如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　) A．－1　　　　　　　 　B．0 C．2 D．4 解　由题图可知切线过点(0,2)，(3,1)，则曲线y＝f(x)在x＝3处的切线的斜率为－，即f′(3)＝－，又因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，所以g′(3)＝1＋3×＝0. 故选B。 4. 已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)． (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； (2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围． 解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)． (1)由题意，得 解得b＝0，a＝－3或a＝1. (2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线， 所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0， 即4a2＋4a＋1＞0， 所以a≠－. 所以a的取值范围为∪. 5.已知