专题05 导数与函数不等式恒成立、有解（存在性）（训练篇B）-用思维导图突破导数压轴题

15 （1） 用思维导图突破导数压轴题 专题5 不等式恒成立、有解（存在性）问题 训练篇B （14页） 专题05 导数与函数不等式恒成立、有解（存在性）（训练篇B） -用思维导图突破解导数压轴题 《挑战压轴题•高中数学•精讲解读篇》（华东师大出版社第1-10版（2009-2019年））、《上海高考好题赏析》（浙江大学出版社2019年）、330多篇论文（文章）作者 特级教师文卫星 1. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，证明. 解 （1）的定义域为，. 若，则当时，，故在单调递增. 若，则当时，； 当时，. 故在单调递增，在单调递减. （2）由（1）知，当时，在取得最大值，最大值为 . 所以等价于，即. 设，则， 当时，； 当时，. 所以在单调递增，在单调递减.故当时，取得最大值，最大值为.所以当时. 从而当时，，即. 2. 已知函数，设. （1）求的极小值； （2）若在上恒成立，求a的取值范围. 解 （1），由题意可知， 所以。 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 所以在处取得极小值，为。 （）由（Ⅰ）得 当时，所以在单调递增，所以 即时在恒成立. 当时， 又，所以在上单调递增，在上单调递减。 因此在上一定存在使得，在递减，在递增， 所以，所以在存在，使得， 所以当时，在上不恒成立。 所以a的取值范围为. 3.设函数 （）讨论的单调性； （Ⅱ）当时，，求的取值范围 解（Ⅰ） 令 当时， 当时， 当时，所以在单调递减，在单调递增. （Ⅱ）。 当时，设函数因此在上单调递减，而故所以 当时，设函数所以在单调递增，而故 当时，取 则故 当时，取则 综上，的取值范围是 4. 已知函数的图象在点处的切线为. （1）求的值； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 解（1）由已知可得. 函数的图象在点处的切线的斜率， 所以. 所以切点坐标为，代入切线方程，可得，所以. （2）由（1）知.所以对任意的恒成立， 即()恒成立，即()恒成立. 令()，所以即可. . 设()，则，所以在上单调递增. 当时，单调递增，所以，因此，在上，在上. 所以在上单调递减，在上单调递增，于是当时，取得最小值，即. 所以实数的取值范围为. 5. 已知函数， . （1）求函数的单调区间；