专题01 导数与函数的最（极）值（训练篇A）-用思维导图突破导数压轴题

7 用思维导图突破导数压轴题 专题1 函数的最（极值） 训练篇A （10页） 专题01 导数与函数的最（极）值（训练篇A） -用思维导图突破导数压轴题 《挑战压轴题•高中数学•精讲解读篇》（华东师大出版社第1-10版（2009-2019年））、《上海高考好题赏析》（浙江大学出版社2019年）、330多篇论文（文章）作者 上海市特级教师文卫星 A组： 1.(2017年山东理第15题)若函数(是自然对数的底数)在的定义域上单调递增，则称函数具有性质．下列函数中所有具有性质的函数的序号为_______． ① ② ③ ④ 解析：① ，有在R上单调递增 ②，有在R上单调递减 ③，有的导函数为，有，因此在上，函数单调递减； ④，有的导函数为在R上单调递增. 综上所述，具有性质的函数的序号是(1)(4)． 2.若是函数的极值点，则的极小值为（ ） A. B. C. D.1 解 由题可得. 因为，所以，，故. 令，解得或，所以在单调递增，在单调递减，所以极小值，故选A. 3.（2015年四川文第理15题）已知函数,.对于不相等的实数，设. 现有如下命题：①对于任意不相等的实数，都有；②对于任意的及任意不相等的实数，都有；③对于任意的，存在不相等的实数，使得；④对于任意的，存在不相等的实数，使得.其中的真命题有 (写出所有真命题的序号）. 解 由定义.若，则由在R上单调增，，所以，若，则，仍有，①正确； 由易知②错误； 令，有， 整理得，即， 所以. 令，则题意转化为存在不相等的实数，使得. 由，. 令，且，可得为极小值；若，则，即，单调递增，不满足题意，③错误； 令，同③可得, 设，则 ，恒成立，单调递增且当时，，当时，，所以先减后增，所以对于任意的，存在不相等的实数，使得，即使得成立，④正确. 4.（2017年浙江理第20题）已知函数f(x)=（）. （Ⅰ）求f(x)的导函数； （Ⅱ）求f(x)在区间上的取值范围. 解 （Ⅰ），，所以 . （Ⅱ）由，解得或. 因为 又， 故在区间上的取值范围是. 5.（2016年天津理第20题）设函数,，其中 (1)求的单调区间； (2) 若存在极值点，且，其中，求证：； （3）设，