专题02 导数与函数、不等式（训练篇A）-用思维导图突破导数压轴题

1 用思维导图突破导数压轴题 专题2 导数与不等式 训练篇A （13页） 专题02 导数与函数、不等式（训练篇A） -用思维导图突破导数压轴题 《挑战压轴题•高中数学•精讲解读篇》（华东师大出版社第1-10版（2009-2019年））、《上海高考好题赏析》（浙江大学出版社2019年）、330多篇论文（文章）作者 上海市特级教师文卫星 1.（2015年福建理第10题）若定义在上的函数 满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是 （A） （B） （C） （D） 解 由已知条件,构造函数,则,故函数g(x)在R上单调递增,且,故,所以 ,即，所以结论中一定错误的是C，选项D不确定；构造函数,则, 故函数h(x)在R上单调递增,且,故,所以，即,选项A，B无法判断，故选C. 2.（ 2015年福建文12）“对任意，”是“”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 解 当时，，构造函数,则. 故在单调递减,故,则； 当时，不等式等价于，构造函数，则，故在单调递减，故 ，则. 综上所述，“对任意，”是“”的必要不充分条件,故选B. 3. （2017年新课标2文第21题）已知函数=lnx+ax2+(2a+1)x． （1）讨论的单调性； （2）当a﹤0时，证明． 解 （1） 当时，，则在单调递增 当时，则在单调递增，在单调递减. （2）由（1）知，当时，， . 令 （），则，解得，所以在单调递增，在单调递减，所以，所以，即，从而. 4. 已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0. 解　(1)f′(x)＝－a(x＞0)， ①若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②若a＞0，则当0＜x＜时，f′(x)＞0，当x＞时，f′(x)＜0， 故f(x)在上单调递增，在上单调递减． (2)证1 因为x＞0，所以只需证f(x)≤－2e， 当a＝e时，由(1)知，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝－e. 记g(x)＝－2e(x＞0)，则g′(x)＝，所以当0＜x＜1时，g′(x)＜0，g(x)单调递减； 当x＞1时，g′(x)＞0