专题05 导数与函数不等式恒成立、有解（存在性）（训练篇A）-用思维导图突破导数压轴题

1 （1） 用思维导图突破导数压轴题 专题5 不等式恒成立、有解（存在性）问题 训练篇A （14页） 专题05 导数与函数不等式恒成立、有解（存在性）（训练篇A） -用思维导图突破解导数压轴题 《挑战压轴题•高中数学•精讲解读篇》（华东师大出版社第1-10版（2009-2019年））、《上海高考好题赏析》（浙江大学出版社2019年）、330多篇论文（文章）作者 特级教师文卫星 A组 1. “对任意，”是“”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 解 当时，，构造函数,则. 故在单调递减,故,则； 当时，不等式等价于，构造函数，则，故在单调递减，故 ，则. 综上所述，“对任意，”是“”的必要不充分条件,故选B. 2. 已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是 。 解 因为，所以函数是奇函数，因为，所以数在上单调递增， 又，即，所以，即， 解得，故实数的取值范围为. 3. 设函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）确定a的所有可能取值，使得在区间内恒成立（…为自然对数的底数）. 解 （1）由题意，， ①当时，，，在上单调递减. ②当时，，当时，； 当时，. 故在上单调递减，在上单调递增. （2）原不等式等价于在上恒成立. 令，只需在上恒大于0即可. 因为，故在处必大于等于0. 令，，可得. 当时，，因为故，又，故在时恒大于0. 所以当时，在单调递增，从而，故也在单调递增. 所以，即在上恒大于0. 综上，. 4. 已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)设实数使得对恒成立，求的最大值． 解 (1)因为，所以，． 又因为，所以曲线在点处的切线方程为． (2)令，则. 因为，所以在区间上单调递增．所以,,即当时，． (3)由(2)知，当时，对恒成立． 当时，令，则 . 所以当时，，因此在区间上单调递减． 当时，，即． 所以当时，令并非对恒成立． 综上可知，的最大值为2． 5. 设函数． （1）当时，求的极值； （2）如果≥在上恒成立，求实数的取值范围． 解 （1）由已知，当时， ，∴，，∴在上单调递增，且， ，随变化如下表： 1 - 0 + ↘ 极小值 ↗ ∴有极小值，没有极大值．