2020北京空中课堂高二数学（选修1-1人教B版）导数复习（2） 课件+教案+学习任务单 (共3份打包)

教 案 教学基本信息 课题 导数复习（2） 学科 数学 学段：高中 年级 高二 教材 书名： 普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1 （B版） 出版社： 人民教育出版社 教学目标及教学重点、难点 教学目标： 1. 掌握利用导数研究函数的性质的方法，熟悉解题过程，规范解题格式； 2. 了解对导数综合应用的读题审题、分析转化的一般思路. 3. 加深对函数与方程，等价转化，数形结合等数学思想方法的理解. 教学重点：利用导数来研究函数的单调性与极值，零点等性质. 教学难点：导数的综合应用. 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 引入 上节课我们复习了导数的有关概念，研究了函数的单调性与极值，并且利用单调性与极值解决了有关函数零点的问题，今天我们继续复习导数的综合应用. 开门见山，指明复习课的主题. 新课 和 例题 例. 已知定义在上的函数满足，且的导函数在上恒有，求解不等式. 解：构造函数，则，而 ，因为在上恒成立, 所以，在上单调递减，当时，，所以不等式的解集为. 例. 设曲线在点处的切线与曲线上点处的切线相互垂直，则求点的坐标. 解：函数的导函数为，所以曲线在点处的切线的斜率 ，我们设点， 函数的导函数为，曲线在点处的切线的斜率，两条切线相互垂直，则有，即，解得，又，，故点的坐标为. 例. 设为曲线在处的切线，证明:除切点之外，曲线在直线下方. 证明：设，的自然对数的导数是 ， 的导数是1，化简得函数 的导数为 ， 曲线在处的切线的斜率，则切线的方程为，， 令，证明除切点之外，曲线在直线下方等价于证明，“”当且仅当时取得，即证明且最小值点只有一个. ,，的符号与分子相同，设，所以与的符号相同,注意到，，当时，单调递增，的自然数对数单调递增，它们的和单调递增，当然减去1不改变单调性，所以在上单调递增. 当时，， 当时，， 这样我们可以列表如下：在上，，单调减; 在上，，单调增，是唯一极小值点， 当然是唯一最小点，所以当且仅当时 例. 已知函数. (1) 对任意的实数，使得恒成立，求实数的取值范围. (2) 存在实数，使得能成立，求实数的取值范围. 解：设，对任意的实数，使得恒成立等价于， 存在实数，使得能成立等价于. ，在区间上只有唯一解 .列表如下： 1 2 3 0 5 ↘ 极小值 ↗ 我们比较端点的函数值，，， . 所以当时，，，那么 （1）中的取值范围是. （2）中的取值范围是. 例10. 已知函数在处取得极小值，求的取值范围. 解：函数是一个多项式与指数函数的乘积，根据函数乘积的求导法则有： 设，与的符号相同， （1）当时， 2 0 0 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 在处取极大值，不满足题意； （2）当时，，成为一个一次函数，是它的唯一零点， 2 0 ↗ 极大值 ↘ 在处取极大值，不满足题意； （3）当时，， 2 0 0 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 在处取极大值，不满足题意； （4）当时， ，函数单调递增，此时函数没有极小值; （5）当时， ， 2 0 0 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 在处取极小值，满足题意； 综合(1)(2)(3)(4)(5),所以的取值范围是. 例. 证明不等式：当时，. 证明：设，而 . , 且. 设，， 当时，，函数单调增， ， 而就是，所以当时，，单调递增， 所以， . 即 ， 那么，当时成立. 原不等式成立. 例. 已知函数，() ，试问过点可以做多少条直线与曲线相切？ 解：设过点与曲线相切的切点为，切线的斜率， 切线方程为：，将代入切线方程，得 ， 理得：，方程有几个不同的解，就能作几条不同的切线. 设， ，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 由上个例题知，，知道存在，使得， 取，，； 取，，. 所以存在唯一的，使得， 所以，过点可以做2条直线与曲线相切. 利用函数的性质来处理不等式，感悟函数与方程，函数与不等式的数学思想. 利用反例，说明求导运算对不等关系不成立. 要求学生深刻理解导数的几何意义，知道如何用曲线的解析特征来描述位置关系. 加深对函数商的导数的求法的印象. 切线方程的公式. 将曲线的位置关系转化为不等式的恒成立问题，继而转化为函数的最值问题. 掌握分离变量的技巧和将等式恒成立问题与能成立问题转化为函数的最