高中自主招生暨理科实验班分班考试数学试题及解析（9）

高中自主招生暨理科实验班分班考试数学试题及解析（9） 考试说明： 1、考试时间：90分钟 2、试卷满分120分，其中一试80分，二试40分。 3、请将答案写在答题纸上，否则无效。 一 试 一、选择题（本大题共5小题，每小题6分，满分30分） 1、已知 ，则 应满足（　　） (A) x＜1 (B) x≤0 (C) x＞1 (D) x≥0且x≠1 2、如图，Rt 中，DC是斜边AB上的中线，EF过点C且平行于AB．若 ， 则 的度数是（　　） (A) 35° (B) 45° (C) 55° (D) 65° 3、一个立方体的表面展开图如下面左图所示，将其折叠成立方体后的立体图形是 （　　） 4、袋中装有3个红球、4个黑球、5个白球．现从袋中任意摸出2个球，摸出的球 中恰好有1个红球的概率是（　　） (A) (B) (C) (D) 5、如图，点A是5×5方格图形中的一个格点(小正方形的顶点)，图中每个小正方 形的边长都是1．那么，面积等于 ，并且一个顶点是A点的格点等腰直角三角形(三角形的三个顶点都是格点)的个数有（　　） (A) 10个 (B) 12个 (C) 14个 (D) 16个 二、填空题(本大题共5小题，每小题6分，满分30分) 6、若 ，则 的值为 ． 7、已知 ，则 的值为____________. 8、如右图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB= ，BC= ，CD＝ ，则AD边的长为 . 9、在一列数 ……中，已知 ，且当k≥2时， ，（取整符号 表示不超过实数 的最大整数，例如 ， ），则 等于____________. 10、若关于 的方程 的一个根大于 且小于 ，另一个根大于2且 小于3，则m的取值范围是____________. 三、解答题（本大题共2小题，每小题满分10分，共20分） 11、现有一张矩形纸片ABCD(如图)，其中AB＝4cm，BC＝6cm， 点E是BC的中点．将纸片沿直线AE折叠，点B落在四边形AECD内，记为点 ．求线段 的长． 12、已知直线 （n是正整数）。当n=1时，直线 与 x轴和y轴分别交于点 和 ,设△ (O是平面直角坐标系的原点)的面积为 ；当n=2时，直线 与x轴和y轴分别交于点 和 ，设△ 的面积为 ，…,依此类推,直线 与x轴和y轴分别交于点 ,设 的面积为 . (1)求△ 的面积 ； (2）求 的值. 二 试 四、 问题解决（本大题共4小题，每小题各10分，共40分） 13、如图，直线 与 轴， 轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线 与 轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线 ． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）连结AC．请问在 轴上是否存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与 相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 14、一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行．裁判先在黑板上写出下面的正整数2、3、4、…、2012，然后随意擦去一个数．接下来由乙、甲两人轮流擦去其中的一个数（即乙先擦去其中的一个数，然后甲再擦去一个数，如此轮流下去），若最后剩下的两个数互质，则判甲胜；否则，判乙胜。按照这种游戏规则，求甲获胜的概率。（用具体的数字作答） 15、如图所示， ,梯形 的面积是180， 是 的中点， 是 边上的点,且 , 分别交 于 设 , 是整数. （1）若 ，求 的面积. （2） 若 的面积为整数，求 的值. 16、已知方程 . （1）若 ，求方程的根. （2）找出一组正整数 ， ,使得方程的三个根均为整数. （3）证明:只有一组正整数 ， ,使得方程的三个根均为整数. 参考答案 一试 一、选择题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分） 题 号 1 2 3 4 5 答 案 B C D B D 二、填空题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分） 题 号 6 7 8 9 10 答 案 7 36 4 三、解答题（本大题共2个小题，每小题10分，共20分） 11．（本小题10分） 解：连结 交AE于点O，由折法及点E是BC的中点， 知 ， ∴ ， ． 又∵ 三内角之和为180°， ∴ ． ……5分 ∵点 是点B关于直线AE的对称点， ∴AE垂直平分 ． 在Rt 和Rt 中， ， 将AB=4，BE=3，AE= =