专题02 导数与函数、不等式（精讲篇）-用思维导图突破导数压轴题

10 用思维导图突破导数压轴题 专题2 导数与不等式 精讲篇（13页） 用思维导图突破导数压轴题 《挑战压轴题•高中数学•精讲解读篇》（华东师大出版社第1-10版（2009-2019年））、《上海高考好题赏析》（浙江大学出版社2019年）、330多篇论文（文章）作者 特级教师文卫星 专题02 导数与函数、不等式 导数与函数、不等式综合题是近年高考试题的一个热点，往往是在运用导数知识以后，由不等式提升试题难度。 证明不等式一般是作，通过对求导，求出的最小值大于或大于0,；证明不等式成立的方法类似。如果要证明的不等式中含有参数，需要分类讨论，才能确定单调性，就要根据题设条件确定恰当的分类标准。如果要求参数的范围，在得到相关不等式后可以分离变量，也可能需要构造新函数，找出参数满足的条件，才能求出参数的范围。 作差求导 判断单调 求出极值引例（2019年天津理第20题）设函数，为的导函数. （1）求的单调区间； （2）当时，证明； （3）设为函数在区间内的零点，其中，证明：. 思路点拨 第（1）题由或解出相应的x的范围即可确定单调区间。第（2）题记不等式左边为，证明指定区间上函数值非负，理想状态是在该区间单调，且最小值为0。第（3）题利用第（2）结论，由，得 ，记，那么 ，由（2）可得由（2）知，，有两条路径：一条是通过分解、变形、代换、放缩等化归为熟悉的基本的函数单调性问题（解1-解3）；另一条是把变量转化成，构造函数，回归导数基本运算，借助研究定义域内函数单调性的变化，转化为最值问题（解4）。思维导图如下： 满分解答 解（1）由已知，有, 当时，有，得，则单调递减； 当时，有，得，则单调递增． 所以，的单调递增区间为的单调递减区间为． （2）证明：记．函数定义域为，依题意及（Ⅰ），有，从而． 当时，，故 ． 因此，在区间上单调递减，进而． 所以，当时，． （3）思路一：借助前问巧带入，不等证明化函数 观察到本问与第二问结构类似，范围类似，充分利用前问，对一个非基本问题通过分解、变形、代换、放缩等多种方式，化归为熟悉的基本的函数单调性问题，从而得到解答. 解1 依题意，，即．记，则，且． 由及（Ⅰ），得即. 令函数，， 所以在上为增函数，所以，故 所以，． 解2 依题意，，即，即， 因为，所以， 由（2）知， 所以 , 所以， 因为，所以，又， 上式可化为， 只需证