专题03 导数与函数零点（精讲篇）-用思维导图突破导数压轴题

14 思维导图突破导数压轴题 专题3 导数与函数零点问题 精讲篇 （14页） 用思维导图突破导数压轴题 《挑战压轴题•高中数学•精讲解读篇》（华东师大出版社第1-10版（2009-2019年））、《上海高考好题赏析》（浙江大学出版社2019年）、330多篇论文（文章）作者 上海市特级教师文卫星 专题3 导数与函数零点 函数零点x0就是方程=0的根x0，也是函数图象与x轴交点的横坐标x0.这里函数与方程随时转化，互换角色，充分体现数形结合的思想.函数零点个数转化为方程根的个数，有时把方程=0转化为函数与，再作函数的图象，从图象确定交点个数，即把求方程根的个数转化为两个函数图象交点的个数. 如果连续函数在某个单调区间内两个端点函数值之积为负，则函数在该区间有且仅有一个零点.要求函数的单调区间有回到求其导数的路子上，即转化为前面熟悉的问题. 求函数f(x)的零点 数：求导判断f(x)的单调性，适当选取区间，确定端点函数值异号 形：a=g(x)或h(x)=q(x) 判断相应函数单调性、值域，确定零点个数或范围 结合具体问题运用分析法和相关性质确定端点（一般不唯一，见例2等） 结合图象确定零点范围（见例3、例6），有时还需证明（见例1） 函数零点方程根 求导定调需认真 端点异号那最好 如若不然做转化 例1（2019年Ⅰ理第20题）已知函数， 为的导数.证明： （1）在区间存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点. 思路点拨 第（1）题：若在区间的极大值点x0，则在x0左边，递增，在x0右边递减.这需要考虑在x0左边为正，右边为负，也就是说x0是的零点，从而在上单调递增；在，上<0，可得单调递减. 第（2）结论等价于方程sinx=ln(1+x)有且仅有两个不等的实数根.在同一坐标系中分别作出图象可知一根为0，另一根介于之间. 从图象可以看出当和时，，即；当，. 这就需要考虑在)、、、单调性以及端点值的正负.由于位于)和)，还有对这两个区间作相应讨论. 第（2）的思维导图： 已知f(x)=sinx-ln(1+x) 结论：f(x)有且仅有2个零点 sinx=ln(1+x)有两个不等实数根 数形结合：一根为0，一根在之间 当和时，f(x)>0；当 xf(x)<0 当 x f(x)<0 等价转化 函数方程不等式 三者联系很密切 相互转化无痕迹 根据需要作选择 满分解答 （1）