专题04 导数与切线（精讲篇）-用思维导图突破导数压轴题

11 用思维导图突破导数压轴题 专题4 导数与切线 （精讲篇） 用思维导图突破解导数压轴题 《挑战压轴题•高中数学•精讲解读篇》（华东师大出版社第1-10版（2009-2019年））、《上海高考好题赏析》（浙江大学出版社2019年）、330多篇论文（文章）作者 特级教师文卫星 专题4 导数与切线 函数在某点的导函数值就是过该点切线的斜率。高考中切线问题多数年份出现在客观题和解答题第（1）题中，考查知识点相对单一，比较容易。少数年份出现在解答题（2）、（3）题，往往与方程结合起来考查，难度较大，解题时要注意数形结合。 函数y=f(x)与y=g(x)图象相切 构造函数h(x)=f(x)–g(x) 根据具体问题，运用分析法确定区间[a,b](区间不唯一) 判断在区间[a,b]上的正负,使h(a)h(b)<0 两个函数若相切 作差构造再求导 判断导数正负号 想方设法零点找 引例（2018天津理科第20题）已知函数， ，其中a>1. （1）求函数的单调区间； （2）若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行，证明； （3）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线. 思路点拨 第（1）题只需求出的导函数，并令其为0，然后分区间讨论符号即可确定单调区间；第（2）先求各自的斜率，令其相等，化简即得；第（3）题分别求出两个函数的切线方程，若两个函数有公切线，则这两条切线表示同一条直线，通过待定系数法转化为二元方程组解的问题，通过消元将方程组化为一元方程.而方程是否有解问题可归结为连续函数的零点定理，即只要在区间上存在零点，其函数值异号即可. 若函数， 有公切线 在点处的切线l2： 在点处的切线l1： 令，证明r(x)有零点 满分解答 （1）由已知， ，有.令，解得x=0. 由a>1，可知当x变化时， ， 的变化情况如下表： x 0 0 + 极小值 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （3）由，可得曲线在点处的切线斜率为. 由，可得曲线在点处的切线斜率为. 因为这两条切线平行，故有，即. 两边取以a为底的对数，得，所以. （3）曲线在点处的切线l1：，曲线在点处的切线l2：. 要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明