专题05 导数与函数不等式恒成立、有解（存在性）（精讲篇）-用思维导图突破导数压轴题

12 用思维导图突破导数压轴题 专题5 不等式恒成立、有解（存在性）问题 精讲篇 （14页） 用思维导图突破解导数压轴题 《挑战压轴题•高中数学•精讲解读篇》（华东师大出版社第1-10版（2009-2019年））、《上海高考好题赏析》（浙江大学出版社2019年）、330多篇论文（文章）作者 特级教师文卫星 专题5 导数与不等式恒成立、有解（存在性）问题 函数不等式恒成立问题或不等式有解（存在性）等问题相联系来命题是近年高考常见题型之一，涉及导数知识可能会含有参数讨论。 恒成立问题常通过构造函数y=f(x)，转换为求y=f(x)在某个区间最值问题，这就需要确定y=f(x)导数的符号，为此，往往需要再次构造函数（以y=f(x)导函数中某个不能确定符号的代数式作为新构造函数的解析式），有时还需要分类讨论，分类讨论的标准一般用分析法求出，但解答时却用综合法书写（所以，不少情况下看不懂答案，即不知道分类标准怎么来的）。 有解（存在性）问题常转化为不等式有解，先求出不等式两边两个函数的最值（值域），根据具体条件确定最值之间的大小关系（或确定值域的包含关系），据此不等式（组）求出相关变量的范围。 如果含有双参数，可以把一个参数看作常数转化为一元变量求解。 此类问题解答思维导图如下： 其一 含双参的不等式恒成立、有解（存在性） 视其中一参数为常数转化单变量不等式、有解 对恒成立问题：针对具体情况构造函数并求导、判断单调区间（有时可能需要多次构造函数），以求最值，有时要分类讨论（难点），分类标准用分析法，书写用综合法 对存在性：针对具体问题构造不等式，根据要求分别求两边的最值（值域），然后确定最值之间的大小关系（值域的包含关系） 双参可视一常量 构造函数明方向 分类求导是难点 综分结合最理想 其二 有解不等恒成立 一式转化看两边 各自判断大和小 相关方法要熟练 引例 已知实数，设函数 （1）当时，求函数的单调区间； （2）对任意均有 求的取值范围. 注：为自然对数的底数. 思路点拨 第（1）求得，判断其符号有多种方法。第（2）直接构造关于的函数或参变分离正面求解的取值范围比较困难。因此通过对的赋值来缩小的范围，可以得到简洁的结果，求解比较容易，，解得。即可将问题可转化为：当时，对是否恒成立？ 记 其中，，证明 凑用基本不等式证明