上海市青浦区2020届高三下学期第二次学业质量调研(二模)数学试题

青浦区2019学年第二学期高三年级第二次质量调研测试 　　　　　　数学参考答案及评分标准 2020.05 说明： 1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分． 2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 3．第17题至第21题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位． 一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1．； 2．； 3．； 4．； 5．； 6．； 7．； 8．； 9.； 10.； 11．； 12.. 二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13. ；14. ； 15． ；16. . 三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：（1）因为在正四棱柱中，平面，是垂足， 所以是与平面所成的角， 设，又正四棱柱中，， ，，， ∴ 与平面所成的角的大小为 （2）解一：如图所示：连接， ，是异面直线与所成角， ，， ， 所以异面直线与所成角的大小的大小为． 18．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分. 解：（1） ， ， 又的最小值为． （2）因为存在，使成立，所以， 即 又， 则． 19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分. 解：（1）由题意知，，（为常数）， ∵， ∴，∴， ∴， 故当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量人． （2）由，可得 ， ①当时，，当且仅当等号成立； ②当时，，当时等号成立， 由①②可知，当发车时间间隔为分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为120元． 20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分. 解：(1)由于，将代入椭圆方程，得． 由题意知，即． 又，，所以，． 所以椭圆的方程为． (2)设，则直线的方程为． 联立得， 整理得 由题意得，即． 又，所以，故． 又知， 所以， 因此为定值，这个定值为． (3)设，又，，所以直线，的方程分别为，． 由题意知． 由于点在椭圆上，所以． 所以． 因为，，可得， 所以， 因此． 21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分. 解：（1）由可得为递增数列，所以， 故的前项和为 （2）因为， ， 所以 所以 又因为，所以， 所以的“收缩数列”仍是 （3）由可得 当时，； 当时，，即，所以； 当时，，即（*）， 若，则，所以由（*）可得，与矛盾； 若，则，所以由（*）可得， 所以与同号，这与矛盾； 若，则，由（*）可得. 猜想：满足的数列是： ．…………………………………………………14分 经验证，左式， 右式. ………………………………………………………………………………………16分 下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件. 由上述时的情况可知，时，是成立的. 假设是首次不符合的项，则， 由题设条件可得（*）， 若，则由（*）式化简可得与矛盾； 若，则，所以由（*）可得 所以与同号，这与矛盾； 所以，则，所以由（*）化简可得. 这与假设矛盾. 所以，所有满足该条件的数列的通项公式为，． 高三数学202005 $$青浦区2019学年高三年级第二次学业质量调研测试 数学学科 试卷 （时间120分钟，满分150分） Q2020.05 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1．已知全集，集合，则集合__________． 2．已知为虚数单位，复数的共轭复数__________． 3．已知函数，则方程的解__________． 4．若的展开式中的系数是，则实数的值是__________． 5．双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是__________． 6．用一平面去截球所得截面的